Номер 14.21, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.21. Основанием пирамиды является треугольник, один из углов которого равен $60^\circ$, а противолежащая ему сторона – $4\sqrt{3}$ см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 5 см. Найдите расстояние от центра шара, описанного около данной пирамиды, до плоскости её основания.

Пусть $SABC$ – данная пирамида, основанием которой является треугольник $ABC$. По условию, в треугольнике $ABC$ один из углов равен $60^\circ$, а противолежащая ему сторона равна $4\sqrt{3}$ см. Пусть это будут угол $\angle A = 60^\circ$ и сторона $BC = a = 4\sqrt{3}$ см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 5 см, то есть $SA = SB = SC = l = 5$ см.

Поскольку все боковые ребра пирамиды равны, вершина пирамиды $S$ проецируется в центр окружности, описанной около основания. Обозначим этот центр как $O_1$, а радиус этой окружности как $R_{осн}$. Таким образом, $O_1A = O_1B = O_1C = R_{осн}$, и высота пирамиды $h$ равна длине отрезка $SO_1$.

Найдем радиус описанной окружности основания $R_{осн}$ с помощью теоремы синусов для треугольника $ABC$: $$ \frac{a}{\sin A} = 2R_{осн} $$ Подставим известные значения: $$ R_{осн} = \frac{BC}{2\sin A} = \frac{4\sqrt{3}}{2 \sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \text{ см}. $$

Теперь найдем высоту пирамиды $h = SO_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SO_1A$. Его катеты – это высота пирамиды $SO_1$ и радиус описанной окружности основания $O_1A = R_{осн}$, а гипотенуза – боковое ребро $SA = l$. По теореме Пифагора: $$ SA^2 = SO_1^2 + O_1A^2 $$ $$ l^2 = h^2 + R_{осн}^2 $$ Подставим известные значения: $$ 5^2 = h^2 + 4^2 $$ $$ 25 = h^2 + 16 $$ $$ h^2 = 25 - 16 = 9 $$ $$ h = 3 \text{ см}. $$

Центр $O$ сферы, описанной около пирамиды, лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через центр описанной окружности основания $O_1$. Эта прямая совпадает с прямой, содержащей высоту пирамиды $SO_1$. Расстояние от центра сферы $O$ до любой вершины пирамиды равно радиусу сферы $R_{сф}$. То есть $OA = OS = R_{сф}$. Искомое расстояние от центра сферы до плоскости основания – это длина отрезка $OO_1$. Обозначим это расстояние как $d$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO_1A$. Его катеты – $OO_1 = d$ и $O_1A = R_{осн} = 4$ см, а гипотенуза – $OA = R_{сф}$. По теореме Пифагора: $$ OA^2 = OO_1^2 + O_1A^2 $$ $$ R_{сф}^2 = d^2 + 4^2 = d^2 + 16. $$

Точки $S$, $O$ и $O_1$ лежат на одной прямой. Расстояние $OS$ также равно $R_{сф}$. Длина отрезка $SO_1$ равна высоте пирамиды $h = 3$ см. Расстояние $OS$ зависит от положения точки $O$ относительно плоскости основания. Если центр сферы $O$ и вершина $S$ находятся по разные стороны от плоскости основания, то $OS = OO_1 + SO_1 = d + h = d + 3$. Если они находятся по одну сторону, то $OS = |SO_1 - OO_1| = |h - d| = |3 - d|$. Приравняем квадраты радиусов $OA^2 = OS^2$: $$ d^2 + 16 = OS^2 $$ Рассмотрим оба случая. Уравнение $d^2 + 16 = (3-d)^2$ приводит к $16 = 9 - 6d$, откуда $d = -7/6$, что невозможно, так как расстояние не может быть отрицательным. Следовательно, верен случай, когда центр сферы и вершина находятся по разные стороны от основания: $$ d^2 + 16 = (d + 3)^2 $$ $$ d^2 + 16 = d^2 + 6d + 9 $$ $$ 16 = 6d + 9 $$ $$ 7 = 6d $$ $$ d = \frac{7}{6} \text{ см}. $$ Это решение является физически осмысленным. Таким образом, расстояние от центра описанной сферы до плоскости основания пирамиды равно $7/6$ см.

Ответ: $\frac{7}{6}$ см.