Номер 14.24, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.24. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 3 см. Одно из боковых рёбер пирамиды равно 2 см и перпендикулярно плоскости основания. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

Пусть дана пирамида SABC, где ABC — правильный треугольник в основании, а боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. По условию, сторона основания a = 3 см, а высота пирамиды (длина ребра SA) h = 2 см.

Центр O описанной около пирамиды сферы равноудален от всех ее вершин, то есть OA = OB = OC = OS = R, где R — искомый радиус сферы.

Проекция центра сферы O на плоскость основания (ABC) является центром O' окружности, описанной около треугольника ABC. Найдем радиус r этой окружности. Так как треугольник ABC правильный, радиус описанной около него окружности вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставляем значение a = 3 см:

$r = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Таким образом, O'A = O'B = O'C = r = \sqrt{3} см.

Пусть расстояние от центра сферы O до плоскости основания (ABC) равно x. Тогда OO' = x. Из прямоугольного треугольника OO'A по теореме Пифагора квадрат радиуса сферы равен:

$R^2 = OA^2 = (O'A)^2 + (OO')^2 = r^2 + x^2 = (\sqrt{3})^2 + x^2 = 3 + x^2$

Теперь рассмотрим расстояние от центра сферы O до вершины S. Точка S находится на высоте h = 2 см от плоскости основания, а точка O — на высоте x. Центр O лежит на перпендикуляре к основанию, проходящем через точку O'. Вершина S лежит на перпендикуляре к основанию, проходящем через точку A. Расстояние между этими перпендикулярами равно O'A = r = \sqrt{3}. Разность высот точек S и O равна h - x. Тогда квадрат расстояния OS можно найти как сумму квадратов катетов в пространстве:

$R^2 = OS^2 = (O'A)^2 + (h - x)^2 = r^2 + (h - x)^2 = (\sqrt{3})^2 + (2 - x)^2 = 3 + (2 - x)^2$

Приравняем два полученных выражения для $R^2$:

$3 + x^2 = 3 + (2 - x)^2$

$x^2 = (2 - x)^2$

$x^2 = 4 - 4x + x^2$

$0 = 4 - 4x$

$4x = 4$

$x = 1$ см.

Теперь найдем радиус сферы R, подставив значение x в любое из уравнений для $R^2$:

$R^2 = 3 + x^2 = 3 + 1^2 = 4$

$R = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.