Номер 14.17, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.17. Докажите, что если боковые рёбра пирамиды равны, то около неё можно описать сферу, причём центр этой сферы принадлежит прямой, содержащей высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида $S A_1 A_2 \dots A_n$, у которой все боковые рёбра равны: $S A_1 = S A_2 = \dots = S A_n$. Пусть $SH$ — высота пирамиды, опущенная из вершины $S$ на плоскость основания.

Сначала докажем, что основание высоты $H$ является центром окружности, описанной около основания пирамиды. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle S H A_1, \triangle S H A_2, \dots, \triangle S H A_n$. В этих треугольниках катет $SH$ является общим, а гипотенузы $S A_1, S A_2, \dots, S A_n$ равны по условию. Следовательно, эти треугольники равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует равенство вторых катетов: $H A_1 = H A_2 = \dots = H A_n$. Это означает, что точка $H$ равноудалена от всех вершин основания $A_1, A_2, \dots, A_n$, и, следовательно, является центром окружности, описанной около многоугольника-основания.

Теперь докажем, что около пирамиды можно описать сферу и её центр лежит на прямой $SH$.

Сферой, описанной около пирамиды, называется сфера, проходящая через все её вершины. Центр описанной сферы — это точка $O$, равноудалённая от всех вершин пирамиды, то есть $O A_1 = O A_2 = \dots = O A_n = OS = R$, где $R$ — радиус сферы.

Из условия $O A_1 = O A_2 = \dots = O A_n$ следует, что точка $O$ принадлежит множеству точек пространства, равноудалённых от вершин основания. Это множество представляет собой прямую, перпендикулярную плоскости основания и проходящую через центр описанной около него окружности. Как мы установили, таким центром является точка $H$. Значит, центр сферы $O$ (если он существует) должен лежать на прямой, проходящей через точку $H$ перпендикулярно плоскости основания. Эта прямая и есть прямая, содержащая высоту пирамиды $SH$. Таким образом, мы доказали вторую часть утверждения: центр описанной сферы принадлежит прямой, содержащей высоту пирамиды.

Для доказательства существования сферы достаточно показать, что на прямой $SH$ существует точка $O$, равноудаленная от вершины $S$ и любой из вершин основания, например, $A_1$, то есть $OS = OA_1$. Множество всех точек, равноудалённых от $S$ и $A_1$, является плоскостью $\alpha$, перпендикулярной отрезку $SA_1$ и проходящей через его середину. Искомая точка $O$ является точкой пересечения прямой $SH$ и плоскости $\alpha$.

Прямая $SH$ и плоскость $\alpha$ не параллельны (так как $SH$ не перпендикулярна $SA_1$ в невырожденной пирамиде) и прямая не лежит в плоскости. Следовательно, они пересекаются в единственной точке $O$. Эта точка по построению лежит на прямой $SH$ (а значит, $OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n$) и в плоскости $\alpha$ (а значит, $OS = OA_1$). Объединяя эти равенства, получаем $OS = OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n$.

Следовательно, точка $O$ равноудалена от всех вершин пирамиды и является центром описанной около неё сферы. Это доказывает, что около данной пирамиды можно описать сферу. Утверждение полностью доказано. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.