Номер 14.15, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.15. Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра, ребро которого равно $a$.

Правильный тетраэдр — это многогранник, все грани которого являются равносторонними треугольниками. Пусть дан правильный тетраэдр $DABC$ с ребром, равным $a$. Все его ребра равны $a$.

Центр описанного шара $O$ для правильного тетраэдра совпадает с его центром тяжести (центроидом), который равноудален от всех вершин тетраэдра. Расстояние от центра $O$ до любой из вершин является радиусом $R$ описанного шара.

Центр $O$ лежит на высоте тетраэдра $DH$, опущенной из вершины $D$ на плоскость основания $ABC$. Точка $H$ является центром равностороннего треугольника $ABC$ (точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис).

Известно, что центроид тетраэдра делит его высоту в отношении 3:1, считая от вершины. Таким образом, радиус $R$ описанного шара равен расстоянию от центра $O$ до вершины $D$:

$R = DO = \frac{3}{4} DH$

Для нахождения $R$ необходимо вычислить высоту тетраэдра $DH$.

1. Рассмотрим основание — равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Точка $H$ является его центром. Расстояние от вершины треугольника $A$ до его центра $H$ равно радиусу описанной около треугольника $ABC$ окружности. Найдем сначала высоту (и медиану) $AM$ треугольника $ABC$:

$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

2. Точка $H$ делит медиану $AM$ в отношении 2:1, считая от вершины $A$. Следовательно:

$AH = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHD$. В нем:

• $AD$ — гипотенуза, являющаяся ребром тетраэдра, $AD = a$.
• $AH$ — катет, который мы нашли.
• $DH$ — катет, являющийся высотой тетраэдра.

По теореме Пифагора:

$DH^2 = AD^2 - AH^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

$DH = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

4. Мы нашли высоту тетраэдра. Теперь можем вычислить радиус описанного шара $R$:

$R = \frac{3}{4} DH = \frac{3}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$

Ответ: $R = \frac{a\sqrt{6}}{4}$