Номер 14.9, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.9. В шар радиуса $R$ вписана правильная четырёхугольная пирамида, боковое ребро которой образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$, вписанная в шар с центром $O$ и радиусом $R$. Высота пирамиды $SO'$, где $O'$ — центр квадрата $ABCD$ в основании. Центр шара $O$ лежит на высоте пирамиды $SO'$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через диагональ основания $AC$ и вершину $S$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAC$, который вписан в большую окружность шара радиуса $R$.

Угол $\alpha$ между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол между ребром $SA$ и его проекцией на плоскость основания, то есть отрезком $AO'$. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $SO'A$, угол $\angle SAO' = \alpha$.

В треугольнике $SAC$ углы при основании $AC$ равны $\alpha$, то есть $\angle SAC = \angle SCA = \alpha$. Тогда угол при вершине $S$ равен $\angle ASC = 180^\circ - 2\alpha = \pi - 2\alpha$.

Применим теорему синусов для треугольника $SAC$ и описанной около него окружности радиуса $R$:$ \frac{AC}{\sin(\angle ASC)} = 2R $

Подставим значение угла $\angle ASC$:$ \frac{AC}{\sin(\pi - 2\alpha)} = 2R $

Поскольку $\sin(\pi - x) = \sin(x)$, получаем:$ \frac{AC}{\sin(2\alpha)} = 2R $

Отсюда выразим диагональ основания $AC$:$ AC = 2R \sin(2\alpha) $

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $SO'A$. Высота пирамиды $H = SO'$. Из этого треугольника имеем:$ H = SO' = AO' \cdot \tan(\alpha) $

Так как $O'$ — центр квадрата, то $AO'$ — это половина диагонали $AC$:$ AO' = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} (2R \sin(2\alpha)) = R \sin(2\alpha) $

Подставим выражение для $AO'$ в формулу для высоты $H$:$ H = (R \sin(2\alpha)) \cdot \tan(\alpha) $

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$ и определение тангенса $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$:$ H = R \cdot (2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $

Сократив $\cos(\alpha)$, получим окончательное выражение для высоты:$ H = 2R \sin^2(\alpha) $

Ответ: $H = 2R \sin^2(\alpha)$