Номер 14.7, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.7. Основанием прямой призмы является треугольник с углом $150^\circ$ и противолежащей ему стороной, равной 15 см. Боковое ребро призмы равно 16 см. Найдите радиус сферы, в которую вписана данная призма.

Для решения задачи выполним два основных шага: сначала найдем радиус окружности, описанной около основания призмы, а затем, используя это значение и высоту призмы, найдем радиус описанной сферы.

1. Нахождение радиуса окружности, описанной около основания призмы.

Основанием призмы является треугольник, у которого известен угол $\alpha = 150^{\circ}$ и противолежащая ему сторона $a = 15$ см. Радиус $r$ окружности, описанной около этого треугольника, можно найти, используя следствие из теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2r$

Выразим отсюда радиус $r$:

$r = \frac{a}{2 \sin \alpha}$

Найдем значение синуса угла $150^{\circ}$: $\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим известные значения в формулу:

$r = \frac{15}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{15}{1} = 15$ см.

2. Нахождение радиуса сферы, в которую вписана призма.

Если прямая призма вписана в сферу, то радиус сферы $R$, радиус окружности, описанной около основания призмы $r$, и высота призмы $H$ связаны соотношением, которое следует из теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются: центр сферы, центр окружности, описанной около одного из оснований, и любая вершина этого основания. В этом треугольнике гипотенузой будет радиус сферы $R$, а катетами — радиус описанной окружности основания $r$ и половина высоты призмы $\frac{H}{2}$.

Таким образом, формула имеет вид:

$R^2 = r^2 + (\frac{H}{2})^2$

Высота прямой призмы равна ее боковому ребру, следовательно, $H = 16$ см. Подставим в формулу найденное значение $r = 15$ см и данное значение $H = 16$ см:

$R^2 = 15^2 + (\frac{16}{2})^2 = 15^2 + 8^2$

$R^2 = 225 + 64 = 289$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти радиус сферы:

$R = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ: 17 см.