Номер 14.10, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.10. Плоский угол при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равен $ \alpha $, а сторона основания равна $ a $. Найдите радиус сферы, описанной около данной пирамиды.

Решение

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. По условию, сторона основания $AB = a$, а плоский угол при вершине боковой грани (например, $\angle ASB$) равен $\alpha$.

Центр $O_s$ описанной около пирамиды сферы лежит на ее высоте $SO$, где $O$ — центр квадрата $ABCD$. Радиус сферы $R$ равен расстоянию от центра $O_s$ до любой вершины пирамиды. Таким образом, $R = O_sS = O_sA$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания $AC$ и вершину $S$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAC$. Окружность, описанная около этого треугольника, является большим кругом описанной сферы, и ее радиус равен $R$.

Найдем радиус $R$ этой окружности. Пусть $H = SO$ — высота пирамиды, а $r_b = OA$ — радиус окружности, описанной около основания. Центр сферы $O_s$ лежит на высоте $SO$. Обозначим $OO_s = x$. Тогда радиус сферы $R$ удовлетворяет двум условиям: $R = O_sS = |H-x|$ и $R = O_sA$. Из прямоугольного треугольника $OO_sA$ по теореме Пифагора имеем $O_sA^2 = OA^2 + OO_s^2 = r_b^2 + x^2$.

Таким образом, $R^2 = r_b^2 + x^2$. Приравнивая квадраты радиусов, получаем: $(H-x)^2 = r_b^2 + x^2$.

Раскроем скобки: $H^2 - 2Hx + x^2 = r_b^2 + x^2$.

Отсюда $2Hx = H^2 - r_b^2$, и $x = \frac{H^2 - r_b^2}{2H}$.

Найдем радиус $R$, подставив $x$ в выражение $R = |H - x|$:

$R = \left|H - \frac{H^2 - r_b^2}{2H}\right| = \left|\frac{2H^2 - H^2 + r_b^2}{2H}\right| = \frac{H^2 + r_b^2}{2H}$.

Теперь найдем величины $r_b$ и $H$.

1. Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной $a$, равен половине его диагонали: $r_b = OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}a\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Найдем боковое ребро $l = SA$. Рассмотрим боковую грань — равнобедренный треугольник $SAB$. Проведем в нем высоту $SM$ к основанию $AB$. В прямоугольном треугольнике $SAM$ имеем $AM = a/2$ и $\angle ASM = \alpha/2$. Тогда боковое ребро равно:

$l = SA = \frac{AM}{\sin(\angle ASM)} = \frac{a/2}{\sin(\alpha/2)} = \frac{a}{2\sin(\alpha/2)}$.

3. Найдем высоту пирамиды $H = SO$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ по теореме Пифагора: $H^2 = SA^2 - OA^2 = l^2 - r_b^2$.

$H^2 = \left(\frac{a}{2\sin(\alpha/2)}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4\sin^2(\alpha/2)} - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2(1 - 2\sin^2(\alpha/2))}{4\sin^2(\alpha/2)}$.

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha/2)$, получаем:

$H^2 = \frac{a^2\cos(\alpha)}{4\sin^2(\alpha/2)}$.

Отсюда $H = \frac{a\sqrt{\cos(\alpha)}}{2\sin(\alpha/2)}$. Отметим, что для существования пирамиды необходимо, чтобы высота была действительным числом, то есть $H^2 > 0$, что означает $\cos(\alpha) > 0$. Также, сумма плоских углов при вершине пирамиды должна быть меньше $360^\circ$, т.е. $4\alpha < 360^\circ$, откуда $\alpha < 90^\circ$. Это условие обеспечивает, что $\cos(\alpha) > 0$.

4. Теперь подставим найденные величины в формулу для радиуса $R$. Заметим, что $H^2 + r_b^2 = (l^2 - r_b^2) + r_b^2 = l^2$. Тогда формула для радиуса упрощается:

$R = \frac{l^2}{2H}$.

Подставим выражения для $l$ и $H$:

$R = \frac{\left(\frac{a}{2\sin(\alpha/2)}\right)^2}{2 \cdot \frac{a\sqrt{\cos(\alpha)}}{2\sin(\alpha/2)}} = \frac{\frac{a^2}{4\sin^2(\alpha/2)}}{\frac{a\sqrt{\cos(\alpha)}}{\sin(\alpha/2)}} = \frac{a^2}{4\sin^2(\alpha/2)} \cdot \frac{\sin(\alpha/2)}{a\sqrt{\cos(\alpha)}} = \frac{a}{4\sin(\alpha/2)\sqrt{\cos(\alpha)}}$.

Ответ: $R = \frac{a}{4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\cos\alpha}}$.