Номер 14.14, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.14. Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен $\alpha$, а радиус сферы, описанной около данной пирамиды, равен $R$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Пусть $H$ — центр основания (точка пересечения медиан), тогда $SH = h$ — высота пирамиды, которую необходимо найти.

Двугранный угол при ребре основания, например, при ребре $BC$, образован плоскостями основания $(ABC)$ и боковой грани $(SBC)$. Для нахождения его линейного угла проведём апофему боковой грани $SM$, где $M$ — середина ребра $BC$. Так как пирамида правильная, $SM \perp BC$. Также, поскольку $H$ — центр правильного треугольника $ABC$, то медиана $AM$ является и высотой, т.е. $AM \perp BC$. Следовательно, отрезок $HM$ также перпендикулярен $BC$. Таким образом, линейный угол двугранного угла при ребре $BC$ — это угол $\angle SMH$. По условию, $\angle SMH = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SHM$ (угол $\angle SHM = 90^\circ$). Катет $SH$ — это высота пирамиды $h$, а катет $HM$ — это радиус вписанной в основание окружности ($r_{base}$). Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$ \mathrm{ctg}(\alpha) = \frac{HM}{SH} = \frac{r_{base}}{h} $

Отсюда выразим $r_{base}$ через $h$ и $\alpha$:

$ r_{base} = h \cdot \mathrm{ctg}(\alpha) $

В основании лежит равносторонний треугольник $ABC$. Для него радиус описанной окружности ($R_{base} = AH$) связан с радиусом вписанной окружности ($r_{base} = HM$) соотношением $R_{base} = 2r_{base}$. Тогда:

$ R_{base} = 2h \cdot \mathrm{ctg}(\alpha) $

Центр $O$ сферы, описанной около пирамиды, лежит на её высоте $SH$. Все вершины пирамиды ($A, B, C, S$) находятся на поверхности сферы, поэтому расстояние от центра $O$ до любой вершины равно радиусу сферы $R$. В частности, $OA = OS = R$.

Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через вершину $S$, вершину основания $A$ и центр основания $H$. В этом сечении лежит прямоугольный треугольник $\triangle SHA$. Точки $S$ и $A$ лежат на большой окружности описанной сферы. Связь между радиусом $R$ описанной сферы, высотой пирамиды $h$ и радиусом $R_{base}$ описанной окружности основания для правильной пирамиды выражается формулой:

$ 2hR = h^2 + R_{base}^2 $

Эту формулу можно получить, рассмотрев равнобедренный треугольник $\triangle OSA$ ($OS=OA=R$) и выразив расстояние от точки $O$ на прямой $SH$ до точек $S$ и $A$.

Подставим в эту формулу найденное ранее выражение для $R_{base}$:

$ 2hR = h^2 + (2h \cdot \mathrm{ctg}(\alpha))^2 $

$ 2hR = h^2 + 4h^2 \mathrm{ctg}^2(\alpha) $

Так как высота пирамиды $h \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $h$:

$ 2R = h + 4h \mathrm{ctg}^2(\alpha) $

Вынесем $h$ за скобки в правой части уравнения:

$ 2R = h(1 + 4\mathrm{ctg}^2(\alpha)) $

Отсюда выражаем искомую высоту $h$:

$ h = \frac{2R}{1 + 4\mathrm{ctg}^2(\alpha)} $

Ответ: $ \frac{2R}{1 + 4\mathrm{ctg}^2(\alpha)} $