Номер 14.18, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 14.18, страница 135.

Условие.

14.18. В треугольной пирамиде каждое боковое ребро равно $b$, а высота равна $h$. Воспользовавшись результатами задач 3 и 4 из $\S 14$, определите, при каком соотношении между боковым ребром $b$ и высотой $h$ центр описанной около пирамиды сферы принадлежит пирамиде, а при каком соотношении — не принадлежит пирамиде.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана треугольная пирамида, у которой каждое боковое ребро равно $b$, а высота равна $h$. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а основание — треугольник $ABC$. Пусть $SO=h$ — высота пирамиды, опущенная на плоскость основания. Поскольку все боковые ребра ($SA$, $SB$, $SC$) равны $b$, вершина $S$ проектируется в центр $O$ окружности, описанной около основания $ABC$.

Центр сферы, описанной около пирамиды, лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через центр описанной около него окружности. В данном случае центр сферы $O_{сф}$ лежит на прямой $SO$.

Введем систему координат с началом в точке $O$, направив ось $Oz$ вдоль высоты $SO$. Тогда точка $O$ имеет координаты $(0, 0, 0)$, а вершина $S$ — $(0, 0, h)$. Пусть $R_{осн}$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$. Из прямоугольного треугольника $SOA$ имеем $b^2 = h^2 + R_{осн}^2$.

Центр описанной сферы $O_{сф}$ имеет координаты $(0, 0, z)$. Расстояние от центра сферы до любой ее точки равно радиусу $R$. Следовательно, расстояния от $O_{сф}$ до вершин $S$ и $A$ равны:

$R^2 = |SO_{сф}|^2 = (h-z)^2$

$R^2 = |AO_{сф}|^2 = R_{осн}^2 + z^2$

Приравнивая правые части, получаем:

$(h-z)^2 = R_{осн}^2 + z^2$

$h^2 - 2hz + z^2 = R_{осн}^2 + z^2$

$2hz = h^2 - R_{осн}^2$

Подставим $R_{осн}^2 = b^2 - h^2$:

$2hz = h^2 - (b^2 - h^2) = 2h^2 - b^2$

Отсюда находим координату $z$ центра сферы:

$z = \frac{2h^2 - b^2}{2h}$

Эта формула для положения центра описанной сферы является одним из результатов, на которые ссылается условие задачи.

Центр описанной сферы принадлежит пирамиде, если он расположен на отрезке высоты $SO$, то есть его координата $z$ удовлетворяет условию $0 \le z \le h$.

Центр описанной около пирамиды сферы принадлежит пирамиде

Для того чтобы центр сферы принадлежал пирамиде, необходимо выполнение условия $0 \le z \le h$.

$0 \le \frac{2h^2 - b^2}{2h} \le h$

Поскольку высота $h > 0$, можно умножить неравенство на $2h$:

$0 \le 2h^2 - b^2 \le 2h^2$

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:

1) $2h^2 - b^2 \le 2h^2 \implies -b^2 \le 0 \implies b^2 \ge 0$. Это неравенство верно всегда, так как $b$ — длина ребра.

2) $0 \le 2h^2 - b^2 \implies b^2 \le 2h^2$.

Таким образом, центр описанной сферы принадлежит пирамиде, если выполняется соотношение $b^2 \le 2h^2$.

Ответ: $b^2 \le 2h^2$.

Центр описанной около пирамиды сферы не принадлежит пирамиде

Центр сферы не принадлежит пирамиде, если он лежит на прямой $SO$, но вне отрезка $SO$. Это означает, что $z < 0$ или $z > h$.

Как мы показали выше, неравенство $z \le h$ (эквивалентное $b^2 \ge 0$) выполняется всегда. Следовательно, центр сферы может находиться только ниже плоскости основания, то есть при $z < 0$.

Найдем условие, при котором $z < 0$:

$\frac{2h^2 - b^2}{2h} < 0$

Так как $2h > 0$, это неравенство равносильно:

$2h^2 - b^2 < 0 \implies 2h^2 < b^2$

Таким образом, центр описанной сферы не принадлежит пирамиде, если выполняется соотношение $b^2 > 2h^2$.

Ответ: $b^2 > 2h^2$.