Номер 14.20, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.20. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см, а боковые рёбра пирамиды равны. Найдите высоту пирамиды, если радиус шара, описанного около этой пирамиды, равен 13 см.

Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, её вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Основанием является прямоугольный треугольник, а центр описанной около него окружности находится на середине гипотенузы.

1. Найдём гипотенузу и радиус описанной окружности основания.
Пусть катеты прямоугольного треугольника в основании равны $a = 10$ см и $b = 24$ см. Найдём гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ см.
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ($R_{осн}$), равен половине гипотенузы:
$R_{осн} = \frac{c}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

2. Найдём высоту пирамиды.
Центр описанного шара лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды. Радиус шара ($R_{ш}$), радиус описанной окружности основания ($R_{осн}$), высота пирамиды ($H$) и расстояние от центра шара до плоскости основания ($d$) связаны соотношениями:
$R_{ш}^2 = R_{осн}^2 + d^2$ (из прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара к вершине основания, радиусом описанной окружности основания и отрезком $d$).
$H = R_{ш} \pm d$ (в зависимости от того, по одну или по разные стороны от плоскости основания лежат вершина пирамиды и центр шара).
Подставим известные значения: $R_{ш} = 13$ см и $R_{осн} = 13$ см.
$d^2 = R_{ш}^2 - R_{осн}^2 = 13^2 - 13^2 = 0$.
Следовательно, $d = 0$. Это означает, что центр описанного шара совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды, то есть лежит в плоскости основания.
В этом случае высота пирамиды $H$ будет равна расстоянию от центра шара (который лежит в основании) до вершины пирамиды, что равно радиусу шара.
$H = R_{ш} = 13$ см.
Ответ: 13 см.