Номер 14.25, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.25. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной $a$. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а третья грань образует с основанием угол $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

Пусть $SABC$ – данная пирамида, где $ABC$ – правильный треугольник со стороной $a$ в основании. По условию, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Пусть это будут грани $(SAB)$ и $(SAC)$. Если две плоскости, пересекающиеся по прямой, перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $(SAB)$ и $(SAC)$ является боковое ребро $SA$. Следовательно, ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, и $SA$ является высотой пирамиды $H$.

Третья боковая грань $(SBC)$ образует с основанием угол $\alpha$. Угол между двумя плоскостями измеряется линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. Для нахождения этого угла построим перпендикуляры к линии пересечения плоскостей $BC$. Проведем в основании высоту $AM$ к стороне $BC$. Так как треугольник $ABC$ правильный, $AM$ также является медианой и биссектрисой. Длина высоты $AM$ в правильном треугольнике со стороной $a$ равна:$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Поскольку $SA \perp (ABC)$, то $SA$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности $SA \perp AM$. Также проекцией наклонной $SM$ на плоскость основания является отрезок $AM$. Так как $AM \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах и наклонная $SM \perp BC$. Следовательно, угол $\angle SMA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью грани $(SBC)$ и плоскостью основания $(ABC)$. По условию, $\angle SMA = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAM$ (угол $\angle SAM = 90^\circ$). Из него мы можем найти высоту пирамиды $H = SA$:$\tan(\alpha) = \frac{SA}{AM} \implies H = SA = AM \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha)$

Теперь найдем радиус $R$ описанной около пирамиды сферы. Центр описанной сферы $O$ равноудален от всех четырех вершин пирамиды $S, A, B, C$. Проекция центра сферы $O$ на плоскость основания $(ABC)$ есть центр $O_1$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. Радиус $R_{осн}$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, равен:$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Центр сферы $O$ лежит на прямой, перпендикулярной плоскости $(ABC)$ и проходящей через точку $O_1$. Пусть расстояние от центра сферы $O$ до плоскости основания равно $d$. Тогда квадрат радиуса сферы $R$ можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle OO_1A$:$R^2 = OA^2 = O_1A^2 + OO_1^2 = R_{осн}^2 + d^2$

С другой стороны, расстояние от центра сферы $O$ до вершины $S$ также равно $R$. Точка $S$ находится на высоте $H$ над точкой $A$. Прямая $OO_1$ параллельна высоте $SA$. Расстояние по горизонтали от точки $S$ до прямой $OO_1$ равно расстоянию $AO_1$, которое равно $R_{осн}$. Расстояние по вертикали между $S$ (на высоте $H$) и $O$ (на высоте $d$) равно $|H-d|$. Тогда:$R^2 = OS^2 = R_{осн}^2 + (H-d)^2$

Приравнивая два полученных выражения для $R^2$, имеем:$R_{осн}^2 + d^2 = R_{осн}^2 + (H-d)^2$$d^2 = (H-d)^2$$d^2 = H^2 - 2Hd + d^2$$2Hd = H^2$Поскольку $H \neq 0$ (иначе угол $\alpha=0$), получаем $d = \frac{H}{2}$.

Подставим найденное значение $d$ в формулу для радиуса сферы:$R^2 = R_{осн}^2 + d^2 = R_{осн}^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2 = R_{осн}^2 + \frac{H^2}{4}$

Теперь подставим выражения для $R_{осн}$ и $H$:$R_{осн}^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{a^2}{3}$$H^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} \tan(\alpha)\right)^2 = \frac{3a^2}{4} \tan^2(\alpha)$

$R^2 = \frac{a^2}{3} + \frac{1}{4} \left(\frac{3a^2}{4} \tan^2(\alpha)\right) = \frac{a^2}{3} + \frac{3a^2 \tan^2(\alpha)}{16}$Приводя к общему знаменателю 48, получаем:$R^2 = \frac{16a^2 + 9a^2 \tan^2(\alpha)}{48} = \frac{a^2(16 + 9 \tan^2(\alpha))}{48}$

Окончательно, извлекаем квадратный корень, чтобы найти радиус $R$:$R = \sqrt{\frac{a^2(16 + 9 \tan^2(\alpha))}{48}} = \frac{a\sqrt{16 + 9 \tan^2(\alpha)}}{\sqrt{48}} = \frac{a\sqrt{16 + 9 \tan^2(\alpha)}}{4\sqrt{3}}$Избавимся от иррациональности в знаменателе:$R = \frac{a\sqrt{3}\sqrt{16 + 9 \tan^2(\alpha)}}{12}$

Ответ: $R = \frac{a\sqrt{3}}{12}\sqrt{16 + 9 \tan^2\alpha}$