Номер 14.32, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.32. Основанием пирамиды является прямоугольник, стороны которого равны $a$ и $2a$. Основанием высоты пирамиды является середина меньшего ребра её основания. Высота пирамиды равна $a$. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ - прямоугольник в основании. Пусть стороны основания равны $AD = BC = a$ (меньшие стороны) и $AB = CD = 2a$ (большие стороны). Пусть $H$ - середина меньшей стороны $AD$. По условию, основание высоты пирамиды - точка $H$, а сама высота $SH = a$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину $D(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DC$, ось $Oy$ - вдоль ребра $DA$, а ось $Oz$ - перпендикулярно плоскости основания. В этой системе координат вершины основания имеют следующие координаты:
$D(0; 0; 0)$
$A(0; a; 0)$
$C(2a; 0; 0)$
$B(2a; a; 0)$

Точка $H$ является серединой отрезка $AD$, поэтому ее координаты: $H(\frac{0+0}{2}; \frac{0+a}{2}; \frac{0+0}{2}) = H(0; \frac{a}{2}; 0)$.

Высота пирамиды $SH$ перпендикулярна основанию и равна $a$. Следовательно, вершина пирамиды $S$ имеет координаты $S(0; \frac{a}{2}; a)$.

Пусть $O(x; y; z)$ - центр описанной сферы, а $R$ - ее радиус. Центр сферы равноудален от всех вершин пирамиды, то есть $OD = OA = OC = OS = R$. Это эквивалентно равенству квадратов расстояний: $OD^2 = OA^2 = OC^2 = OS^2 = R^2$.

Запишем эти равенства в координатах, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2$:
$R^2 = OD^2 = x^2 + y^2 + z^2$
$R^2 = OA^2 = x^2 + (y-a)^2 + z^2$
$R^2 = OC^2 = (x-2a)^2 + y^2 + z^2$
$R^2 = OS^2 = x^2 + (y-\frac{a}{2})^2 + (z-a)^2$

Составим систему уравнений, приравнивая выражение для $OD^2$ к остальным.
Из $OD^2 = OC^2$ следует:
$x^2 + y^2 + z^2 = (x-2a)^2 + y^2 + z^2$
$x^2 = (x-2a)^2$
$x^2 = x^2 - 4ax + 4a^2$
$4ax = 4a^2$
$x = a$

Из $OD^2 = OA^2$ следует:
$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y-a)^2 + z^2$
$y^2 = (y-a)^2$
$y^2 = y^2 - 2ay + a^2$
$2ay = a^2$
$y = \frac{a}{2}$

Теперь, зная $x$ и $y$, приравняем $OD^2$ и $OS^2$:
$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y-\frac{a}{2})^2 + (z-a)^2$
Подставим $y = \frac{a}{2}$:
$y^2 + z^2 = (y-\frac{a}{2})^2 + (z-a)^2$
$(\frac{a}{2})^2 + z^2 = (\frac{a}{2}-\frac{a}{2})^2 + (z-a)^2$
$\frac{a^2}{4} + z^2 = 0 + (z-a)^2$
$\frac{a^2}{4} + z^2 = z^2 - 2az + a^2$
$\frac{a^2}{4} = a^2 - 2az$
$2az = a^2 - \frac{a^2}{4}$
$2az = \frac{3a^2}{4}$
$z = \frac{3a^2}{8a} = \frac{3a}{8}$

Итак, центр описанной сферы имеет координаты $O(a; \frac{a}{2}; \frac{3a}{8})$.

Теперь найдем квадрат радиуса сферы, используя расстояние от центра $O$ до любой вершины, например, до $D(0;0;0)$:
$R^2 = OD^2 = x^2 + y^2 + z^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{3a}{8})^2$
$R^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{9a^2}{64}$
Приведем к общему знаменателю:
$R^2 = \frac{64a^2}{64} + \frac{16a^2}{64} + \frac{9a^2}{64} = \frac{(64+16+9)a^2}{64} = \frac{89a^2}{64}$

Отсюда находим радиус:
$R = \sqrt{\frac{89a^2}{64}} = \frac{a\sqrt{89}}{8}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{89}}{8}$