Номер 14.33, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.33. В сферу радиуса $R$ вписана правильная треугольная призма со стороной основания $a$. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через центр сферы и сторону основания призмы.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA'B'C'$, вписанная в сферу радиуса $R$ с центром в точке $O$. Сторона основания призмы равна $a$. Основания призмы — правильные треугольники $ABC$ и $A'B'C'$. Поскольку призма вписана в сферу, все ее вершины лежат на поверхности сферы. Центр сферы $O$ совпадает с центром призмы и лежит на середине высоты, соединяющей центры оснований $O_1$ и $O_2$.

Найдем высоту призмы $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO_1A$, где $A$ — вершина основания, $O_1$ — центр основания $ABC$. Гипотенуза $OA$ равна радиусу сферы $R$. Один катет $OO_1$ равен половине высоты призмы, $OO_1 = H/2$. Второй катет $O_1A$ — это радиус окружности, описанной около правильного треугольника $ABC$. Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $r_c$ равен $a/\sqrt{3}$.

По теореме Пифагора для треугольника $OO_1A$:$R^2 = (OO_1)^2 + (O_1A)^2$$R^2 = (H/2)^2 + (a/\sqrt{3})^2$$R^2 = H^2/4 + a^2/3$Отсюда выразим квадрат высоты призмы:$H^2/4 = R^2 - a^2/3 \implies H^2 = 4(R^2 - a^2/3)$

Секущая плоскость проходит через сторону основания, например $AB$, и центр сферы $O$. Эта плоскость пересекает верхнее основание призмы по отрезку $DE$, параллельному $A'B'$ (и, следовательно, $AB$). Таким образом, сечение представляет собой трапецию $ABED$. Так как призма правильная, а плоскость проходит через ее центр $O$, трапеция является равнобокой. Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{AB + DE}{2} \cdot h_{\text{трап}}$где $AB = a$, а $h_{\text{трап}}$ — высота трапеции.

Для нахождения длины второго основания $DE$ и высоты трапеции рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через ее ось $O_1O_2$ и медианы оснований $CM$ и $C'M'$, перпендикулярные сторонам $AB$ и $A'B'$ соответственно (где $M$ и $M'$ — середины $AB$ и $A'B'$). В этой плоскости симметрии построим двумерную систему координат с началом в центре сферы $O$. Ось $Oy$ направим вдоль оси призмы $O_1O_2$. Координаты точек в этой плоскости: $O(0,0)$, $O_1(0, -H/2)$, $O_2(0, H/2)$. Точка $M$ (середина $AB$) имеет координаты $(r_i, -H/2)$, где $r_i$ — радиус вписанной в основание окружности: $r_i = a/(2\sqrt{3})$. Итак, $M(a/(2\sqrt{3}), -H/2)$.

Секущая плоскость в нашем координатном представлении — это прямая, проходящая через точки $O$ и $M$. Уравнение этой прямой: $y = kx$, где $k = \frac{-H/2}{a/(2\sqrt{3})} = -\frac{H\sqrt{3}}{a}$. Эта прямая пересекает плоскость верхнего основания ($y=H/2$) в точке $N$, которая является серединой отрезка $DE$. Найдем ее $x$-координату:$H/2 = -\frac{H\sqrt{3}}{a} \cdot x_N \implies x_N = -\frac{a}{2\sqrt{3}}$Итак, точка $N$ имеет координаты $(-a/(2\sqrt{3}), H/2)$.

Теперь найдем длину $DE$. В верхнем основании $A'B'C'$ точка $N$ лежит на медиане $C'M'$. Расстояние от центра $O_2$ до точки $N$ равно $|x_N| = a/(2\sqrt{3})$. Треугольник $C'DE$ подобен треугольнику $C'A'B'$. Отношение их сторон равно отношению их высот, проведенных из вершины $C'$. Высота $C'N$ треугольника $C'DE$ равна: $C'N = C'O_2 - O_2N = r_c - |x_N| = a/\sqrt{3} - a/(2\sqrt{3}) = a/(2\sqrt{3})$. Высота $C'M'$ треугольника $C'A'B'$ равна $a\sqrt{3}/2$. Отношение высот: $\frac{C'N}{C'M'} = \frac{a/(2\sqrt{3})}{a\sqrt{3}/2} = \frac{1}{3}$. Следовательно, $\frac{DE}{A'B'} = \frac{1}{3}$, и так как $A'B' = a$, получаем $DE = a/3$.

Высота трапеции $h_{\text{трап}}$ — это расстояние $MN$. Найдем его, используя координаты точек $M(a/(2\sqrt{3}), -H/2)$ и $N(-a/(2\sqrt{3}), H/2)$:$h_{\text{трап}}^2 = MN^2 = (x_M - x_N)^2 + (y_M - y_N)^2$$MN^2 = \left(\frac{a}{2\sqrt{3}} - \left(-\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)\right)^2 + \left(-\frac{H}{2} - \frac{H}{2}\right)^2$$MN^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 + (-H)^2 = \frac{a^2}{3} + H^2$Подставим ранее найденное выражение для $H^2$:$MN^2 = \frac{a^2}{3} + 4(R^2 - a^2/3) = \frac{a^2}{3} + 4R^2 - \frac{4a^2}{3} = 4R^2 - a^2$$h_{\text{трап}} = MN = \sqrt{4R^2 - a^2}$

Наконец, вычислим площадь сечения — трапеции $ABED$:$S = \frac{a + a/3}{2} \cdot \sqrt{4R^2 - a^2} = \frac{4a/3}{2} \cdot \sqrt{4R^2 - a^2} = \frac{2a}{3}\sqrt{4R^2 - a^2}$

Ответ: $\frac{2a}{3}\sqrt{4R^2 - a^2}$