Номер 14.35, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.35. Дан тетраэдр $DABC$. В грани $ADB$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$, в грани $BDC$ — высоты $BB_2$ и $CC_1$ и в грани $CDA$ — высоты $CC_2$ и $AA_2$. Докажите, что прямые $A_1B_1$, $C_1B_2$ и $A_2C_2$ параллельны одной плоскости.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Поместим начало координат в вершину D тетраэдра и введем векторы: $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DB} = \vec{b}$, $\vec{DC} = \vec{c}$.

Точки $A_1, B_1, B_2, C_1, C_2, A_2$ являются основаниями высот, проведенных в гранях тетраэдра. Их радиус-векторы можно найти как проекции соответствующих векторов вершин на векторы ребер.

В грани $ADB$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. $A_1$ — основание высоты из A на DB, $B_1$ — основание высоты из B на DA. Радиус-векторы этих точек:
$\vec{DA_1} = \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}$
$\vec{DB_1} = \text{proj}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}$

Аналогично для других граней:
В грани $BDC$ ($BB_2 \perp DC$, $CC_1 \perp DB$):
$\vec{DB_2} = \text{proj}_{\vec{c}}\vec{b} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|^2}\vec{c}$
$\vec{DC_1} = \text{proj}_{\vec{b}}\vec{c} = \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}$
В грани $CDA$ ($CC_2 \perp DA$, $AA_2 \perp DC$):
$\vec{DC_2} = \text{proj}_{\vec{a}}\vec{c} = \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}$
$\vec{DA_2} = \text{proj}_{\vec{c}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|^2}\vec{c}$

Теперь найдем направляющие векторы для прямых $A_1B_1$, $C_1B_2$ и $A_2C_2$:
$\vec{A_1B_1} = \vec{DB_1} - \vec{DA_1} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \left( \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|^2} - \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right)$
$\vec{C_1B_2} = \vec{DB_2} - \vec{DC_1} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|^2}\vec{c} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}|^2}\vec{b} = (\vec{b} \cdot \vec{c}) \left( \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|^2} - \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right)$
$\vec{A_2C_2} = \vec{DC_2} - \vec{DA_2} = \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{c}|^2}\vec{c} = (\vec{c} \cdot \vec{a}) \left( \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|^2} - \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|^2} \right)$

Чтобы доказать, что прямые $A_1B_1$, $C_1B_2$ и $A_2C_2$ параллельны одной плоскости, необходимо и достаточно доказать, что их направляющие векторы $\vec{A_1B_1}$, $\vec{C_1B_2}$ и $\vec{A_2C_2}$ компланарны.

Рассмотрим преобразование инверсии с центром в точке D и единичным радиусом. Пусть точки $A'$, $B'$, $C'$ являются образами точек $A, B, C$ при этой инверсии. Их радиус-векторы определяются как:
$\vec{DA'} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|^2}$, $\vec{DB'} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|^2}$, $\vec{DC'} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|^2}$

Перепишем направляющие векторы прямых, используя векторы $\vec{DA'}$, $\vec{DB'}$ и $\vec{DC'}$:
$\vec{A_1B_1} = (\vec{a} \cdot \vec{b}) (\vec{DA'} - \vec{DB'}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{B'A'}$
$\vec{C_1B_2} = (\vec{b} \cdot \vec{c}) (\vec{DC'} - \vec{DB'}) = (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{B'C'}$
$\vec{A_2C_2} = (\vec{c} \cdot \vec{a}) (\vec{DA'} - \vec{DC'}) = (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{C'A'}$

Из полученных выражений видно, что вектор $\vec{A_1B_1}$ коллинеарен вектору $\vec{B'A'}$, вектор $\vec{C_1B_2}$ коллинеарен вектору $\vec{B'C'}$, а вектор $\vec{A_2C_2}$ коллинеарен вектору $\vec{C'A'}$.

Векторы $\vec{B'A'}$, $\vec{B'C'}$ и $\vec{C'A'}$ являются векторами сторон треугольника $A'B'C'$. Сумма этих векторов равна нулевому вектору: $\vec{B'A'} + \vec{A'C'} + \vec{C'B'} = \vec{0}$, что эквивалентно $\vec{B'A'} - \vec{C'A'} - \vec{B'C'} = \vec{0}$. Это означает, что эти векторы лежат в одной плоскости (плоскости треугольника $A'B'C'$), то есть они компланарны.

Поскольку направляющие векторы прямых $A_1B_1$, $C_1B_2$ и $A_2C_2$ являются скалярными произведениями векторов $\vec{B'A'}$, $\vec{B'C'}$ и $\vec{C'A'}$, они также компланарны. Следовательно, прямые $A_1B_1$, $C_1B_2$ и $A_2C_2$ параллельны одной и той же плоскости, а именно плоскости, проходящей через точки $A'$, $B'$, $C'$.

Ответ: Что и требовалось доказать.