Номер 15.3, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.3. Найдите радиус шара, вписанного в правильную шестиугольную пирамиду, сторона основания которой равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида с вершиной $S$ и центром основания $O$. Тогда $SO$ — высота пирамиды. Сторона основания равна $a$. Двугранный угол при ребре основания равен $\alpha$.

Центр вписанного в пирамиду шара, обозначим его $I$, в силу симметрии лежит на высоте пирамиды $SO$. Радиус вписанного шара $r$ — это расстояние от центра $I$ до любой грани пирамиды. Таким образом, расстояние от точки $I$ до плоскости основания равно $r$, то есть $IO = r$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и апофему основания $OM$, где $M$ — середина ребра основания. Апофема боковой грани $SM$ также лежит в этой плоскости. Данное сечение образует прямоугольный треугольник $SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$). Угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания, следовательно, $\angle SMO = \alpha$.

Центр вписанного шара $I$ лежит на отрезке $SO$. Расстояние от $I$ до плоскости основания равно $IO = r$. Расстояние от $I$ до плоскости боковой грани равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $I$ на апофему $SM$ (так как плоскость $SOM$ перпендикулярна боковой грани). Этот перпендикуляр также равен $r$.

Поскольку точка $I$ в плоскости треугольника $SOM$ равноудалена от сторон угла $\angle SMO$ (лучей $MO$ и $MS$), она лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, луч $IM$ является биссектрисой угла $\angle SMO$, и $\angle IMO = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $IOM$ (с прямым углом $\angle IO M$). В этом треугольнике катет $IO = r$, а второй катет $OM$ — это апофема основания. Из определения тангенса угла имеем: $$ \tan(\angle IMO) = \frac{IO}{OM} $$ Подставляя известные значения, получаем: $$ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{OM} $$ Отсюда выражаем искомый радиус: $$ r = OM \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$

Теперь найдем длину апофемы $OM$ правильного шестиугольника со стороной $a$. Правильный шестиугольник в основании состоит из шести равносторонних треугольников. Апофема $OM$ является высотой в одном из таких треугольников (например, $\triangle OAB$ со стороной $a$). Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле: $$ OM = \frac{a\sqrt{3}}{2} $$

Наконец, подставим найденное значение $OM$ в формулу для радиуса $r$: $$ r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$

Ответ: $ \frac{a\sqrt{3}}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) $