Номер 15.9, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.9. Основанием прямой призмы, в которую вписан шар, является ромб с острым углом $\alpha$. Найдите угол между меньшей диагональю призмы и плоскостью её основания.

Пусть дана прямая призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, основанием которой является ромб $ABCD$ со стороной $a$ и острым углом $\angle A = \alpha$.

Поскольку в прямую призму вписан шар, его диаметр должен быть равен высоте призмы $H$, а также диаметру окружности, вписанной в основание. Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте ромба $h$. Таким образом, высота призмы равна высоте ее основания: $H = h$.

Найдем высоту ромба $h$. Опустим высоту из вершины $D$ на сторону $AB$. Из прямоугольного треугольника, образованного стороной ромба $a$ (гипотенуза), высотой $h$ (катет) и углом $\alpha$, получаем:

$h = a \cdot \sin(\alpha)$

Следовательно, высота призмы $H = a \sin(\alpha)$.

Меньшая диагональ ромба $d_1$ лежит напротив острого угла $\alpha$. Это диагональ $BD$. Найдем ее длину, используя теорему косинусов для треугольника $ABD$:

$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$

Применим формулу половинного угла $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$:

$d_1^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$

$d_1 = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$

Угол между меньшей диагональю призмы (например, $B_1D$) и плоскостью основания — это угол между этой диагональю и ее проекцией на плоскость основания (диагональю $BD$). Обозначим этот угол как $\beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BD$. Катет $BB_1$ равен высоте призмы $H$, а катет $BD$ равен меньшей диагонали основания $d_1$. Тангенс искомого угла $\beta$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\beta) = \frac{BB_1}{BD} = \frac{H}{d_1}$

Подставим найденные выражения для $H$ и $d_1$:

$\tan(\beta) = \frac{a \sin(\alpha)}{2a \sin(\frac{\alpha}{2})}$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$:

$\tan(\beta) = \frac{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \cos(\frac{\alpha}{2})$

Отсюда находим искомый угол:

$\beta = \arctan(\cos(\frac{\alpha}{2}))$

Ответ: $\arctan(\cos(\frac{\alpha}{2}))$