Номер 15.11, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.11. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро — $\sqrt{21}$ см. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду, можно найти по формуле: $r = \frac{3V}{S_{полн}}$, где $V$ — объем пирамиды, а $S_{полн}$ — площадь ее полной поверхности. Для нахождения этих величин выполним следующие шаги.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. Пусть сторона основания $a = 6$ см. Площадь основания $S_{осн}$ вычисляется по формуле:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Найдем высоту пирамиды $H$. Вершина правильной пирамиды проецируется в центр ее основания, который является центром описанной окружности. Радиус $R$ этой окружности для правильного треугольника со стороной $a$ равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см. Высота пирамиды $H$, боковое ребро $l = \sqrt{21}$ см и радиус $R$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:$H^2 = l^2 - R^2 = (\sqrt{21})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 21 - 12 = 9$. Следовательно, высота $H = 3$ см.

Теперь можем вычислить объем пирамиды $V$:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3}$ см³.

Далее найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$. Для этого нам понадобится апофема $h_a$ (высота боковой грани). Апофема, высота пирамиды $H$ и радиус вписанной в основание окружности $r_{осн}$ образуют прямоугольный треугольник. Радиус вписанной окружности для правильного треугольника:$r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см. По теореме Пифагора для апофемы:$h_a^2 = H^2 + r_{осн}^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 = 9 + 3 = 12$. Апофема $h_a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. Площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания $P$ на апофему:$P = 3a = 3 \cdot 6 = 18$ см.$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 2\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см².

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 9\sqrt{3} + 18\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см².

Наконец, подставляем найденные значения $V$ и $S_{полн}$ в формулу для радиуса вписанной сферы:$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot 9\sqrt{3}}{27\sqrt{3}} = \frac{27\sqrt{3}}{27\sqrt{3}} = 1$ см.

Ответ: 1 см.