Номер 15.6, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.6. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведённая к его основанию, равна $h$ и образует с боковой стороной треугольника угол $\alpha$. Найдите высоту призмы, если известно, что в эту призму можно вписать шар.

Пусть основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными сторонами $AB$ и $BC$. Пусть $BH$ – высота, проведенная к основанию $AC$. По условию, $BH = h$. Угол между этой высотой и боковой стороной, например $AB$, равен $\alpha$, то есть $\angle ABH = \alpha$.

Так как призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Условием того, что в прямую призму можно вписать шар, является равенство ее высоты $H$ диаметру окружности, вписанной в ее основание. Если $r$ – радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, то высота призмы $H = 2r$.

Для нахождения радиуса $r$ найдем стороны треугольника $ABC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle BHA = 90^\circ$).

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

Катет $AH = BH \cdot \tan(\angle ABH) = h \tan(\alpha)$.

Гипотенуза $AB = \frac{BH}{\cos(\angle ABH)} = \frac{h}{\cos(\alpha)}$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому основание $AC = 2 \cdot AH = 2h \tan(\alpha)$. Боковые стороны равны: $AB = BC = \frac{h}{\cos(\alpha)}$.

Теперь мы можем найти радиус $r$ вписанной в треугольник $ABC$ окружности по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Площадь треугольника $ABC$ равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (2h \tan(\alpha)) \cdot h = h^2 \tan(\alpha)$.

Полупериметр треугольника $ABC$ равен:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{\frac{h}{\cos(\alpha)} + \frac{h}{\cos(\alpha)} + 2h \tan(\alpha)}{2} = \frac{2\frac{h}{\cos(\alpha)} + 2h \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{2} = \frac{h}{\cos(\alpha)} + h \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{h(1 + \sin(\alpha))}{\cos(\alpha)}$.

Теперь вычислим радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p} = \frac{h^2 \tan(\alpha)}{\frac{h(1 + \sin(\alpha))}{\cos(\alpha)}} = \frac{h^2 \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{\frac{h(1 + \sin(\alpha))}{\cos(\alpha)}} = \frac{h \sin(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)}$.

Высота призмы $H$ равна удвоенному радиусу вписанной в основание окружности:

$H = 2r = 2 \cdot \frac{h \sin(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)} = \frac{2h \sin(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)}$.

Ответ: $\frac{2h \sin(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)}$