Номер 15.12, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.12. Основанием пирамиды является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $\beta$, ее вершина проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Центр шара, вписанного в пирамиду, лежит на высоте пирамиды и является центром окружности, вписанной в сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофемы противоположных боковых граней.

1. Найдем радиус окружности, вписанной в ромб.
Основанием пирамиды является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$. Площадь ромба можно вычислить по формуле $S_{ромба} = a^2 \sin(\alpha)$.
Также площадь ромба равна произведению его стороны на высоту: $S_{ромба} = a \cdot h$.
Отсюда высота ромба $h = a \sin(\alpha)$.
Радиус вписанной в ромб окружности $r_{осн}$ равен половине его высоты:
$r_{осн} = \frac{h}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$.

2. Найдем радиус вписанного шара.
Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и перпендикулярное двум противоположным сторонам ромба. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является высота ромба $h = 2r_{осн}$, а углы при основании равны двугранному углу $\beta$.

Пусть $S$ – вершина пирамиды, $O$ – ее проекция на основание (центр вписанной в ромб окружности). Пусть $K$ – точка касания вписанной окружности со стороной ромба. Тогда $OK = r_{осн}$, а $SK$ – апофема боковой грани. Треугольник $SOK$ – прямоугольный ($\angle SOK = 90^\circ$), и $\angle SKO = \beta$ по определению двугранного угла.

Центр вписанного шара $I$ лежит на высоте $SO$. Радиус вписанного шара $r$ равен расстоянию от центра $I$ до плоскости основания и до плоскости боковой грани. Таким образом, $IO = r$, и расстояние от $I$ до апофемы $SK$ (в плоскости сечения) также равно $r$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $IOK$. В нем $OK = r_{осн}$ и $IO = r$. Точка $I$ как центр вписанной в сечение окружности лежит на биссектрисе угла $SKL$ (где $L$ - точка касания на противоположной стороне), то есть $IK$ является биссектрисой угла $\beta$. Таким образом, $\angle IKO = \frac{\beta}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $IOK$ имеем: $\text{tg}(\angle IKO) = \frac{IO}{OK}$ $\text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{r}{r_{осн}}$

Отсюда выражаем радиус вписанного шара $r$: $r = r_{осн} \cdot \text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Подставляем найденное ранее значение $r_{осн}$: $r = \frac{a \sin(\alpha)}{2} \cdot \text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Ответ: $r = \frac{a \sin(\alpha)}{2} \text{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right)$.