Номер 15.17, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.17. Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен $45^\circ$, а радиус вписанной сферы — $\sqrt{2}$ см. Эта сфера касается одной из боковых граней пирамиды в точке M. Найдите длину линии пересечения данной сферы и плоскости, проходящей через точку M параллельно основанию пирамиды.

Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Пусть $O$ — центр основания (и основание высоты пирамиды $SO$). Пусть $K$ — середина ребра основания $AC$. Тогда $SK$ — апофема боковой грани $SAC$, а $OK$ — радиус вписанной в основание окружности.

Двугранный угол при ребре основания — это угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани. Он равен углу $\angle SKO$. По условию, $\angle SKO = 45^\circ$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и апофему $SK$. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $\triangle SOK$ с прямым углом при вершине $O$. Так как $\angle SKO = 45^\circ$, то $\triangle SOK$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его высота $H = SO$ равна радиусу вписанной в основание окружности $R_{in} = OK$.

Центр вписанной в пирамиду сферы, обозначим его $I$, лежит на высоте пирамиды $SO$. Радиус вписанной сферы $r$ равен расстоянию от центра $I$ до всех граней пирамиды. По условию, $r = \sqrt{2}$ см.

Расстояние от центра $I$ до плоскости основания равно $IO = r$.

Центр вписанной сферы $I$ является точкой пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов пирамиды. В сечении $SOK$ точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle SKO$.

Рассмотрим $\triangle SOK$. $KI$ — биссектриса угла $\angle SKO$. По свойству биссектрисы треугольника:$$ \frac{SI}{IO} = \frac{SK}{OK} $$В прямоугольном $\triangle SOK$ имеем $SO=OK$. По теореме Пифагора $SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{OK^2 + OK^2} = OK\sqrt{2}$. Тогда:$$ \frac{SI}{IO} = \frac{OK\sqrt{2}}{OK} = \sqrt{2} $$Так как $IO=r$, получаем $SI = IO\sqrt{2} = r\sqrt{2}$. Высота пирамиды $H = SO = SI + IO = r\sqrt{2} + r = r(\sqrt{2}+1)$.

Сфера касается боковой грани $SAC$ в точке $M$. Поскольку плоскость $SOK$ перпендикулярна плоскости грани $SAC$ (так как $AC \perp SK$ и $AC \perp OK$), точка касания $M$ лежит на апофеме $SK$. При этом радиус сферы $IM$ перпендикулярен грани $SAC$, а значит, и апофеме $SK$. Таким образом, $IM \perp SK$ и $IM=r$.

Найдём положение точки $M$ на апофеме $SK$. Рассмотрим $\triangle SIM$. Этот треугольник лежит в плоскости $SOK$. Угол $\angle ISK = \angle OSK = 90^\circ - \angle SKO = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку $IM \perp SK$, $\triangle SIM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Найдём длину отрезка $SP$, где $P$ — проекция точки $M$ на высоту $SO$. В прямоугольном $\triangle SMP$ (который подобен $\triangle SOK$), $\angle MSP = \angle OSK = 45^\circ$. В прямоугольном $\triangle SIM$ катет $SM$ равен:$$ SM = SI \cdot \cos(45^\circ) = (r\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = r $$Тогда $SP = SM \cdot \cos(45^\circ) = r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{r\sqrt{2}}{2}$.

Нас интересует длина линии пересечения сферы и плоскости, проходящей через точку $M$ параллельно основанию. Эта линия является окружностью. Чтобы найти её длину (длину окружности), нужно найти её радиус $R_{sec}$.

Плоскость сечения параллельна основанию и проходит через точку $M$. Высота этой плоскости над основанием равна высоте точки $M$ над основанием, $h_M$. Высота центра сферы $I$ над основанием равна $h_I = IO = r$.

Высота точки $M$ над основанием:$$ h_M = SO - SP = H - SP = r(\sqrt{2}+1) - \frac{r\sqrt{2}}{2} = r + \frac{r\sqrt{2}}{2} = r\left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $$

Расстояние $d$ от центра сферы $I$ до секущей плоскости равно разности их высот:$$ d = |h_M - h_I| = \left| r\left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - r \right| = \left| r + \frac{r\sqrt{2}}{2} - r \right| = \frac{r\sqrt{2}}{2} $$

Радиус $R_{sec}$ окружности в сечении связан с радиусом сферы $r$ и расстоянием $d$ по теореме Пифагора: $R_{sec}^2 = r^2 - d^2$.$$ R_{sec}^2 = r^2 - \left(\frac{r\sqrt{2}}{2}\right)^2 = r^2 - \frac{r^2 \cdot 2}{4} = r^2 - \frac{r^2}{2} = \frac{r^2}{2} $$$$ R_{sec} = \sqrt{\frac{r^2}{2}} = \frac{r}{\sqrt{2}} = \frac{r\sqrt{2}}{2} $$

Длина линии пересечения (длина окружности) равна $L = 2\pi R_{sec}$.$$ L = 2\pi \cdot \frac{r\sqrt{2}}{2} = \pi r \sqrt{2} $$

Подставим значение $r = \sqrt{2}$ см:$$ L = \pi (\sqrt{2}) \sqrt{2} = 2\pi \text{ см} $$

Ответ: $2\pi$ см.