Номер 15.23, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.23. В правильную четырёхугольную усечённую пирамиду вписан шар, радиус которого равен $R$. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре её большего основания равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h$ — апофема (высота боковой грани).

Так как пирамида правильная четырёхугольная, её основаниями являются квадраты. Обозначим сторону большего основания как $a$, а меньшего — как $b$. Тогда периметры оснований равны $P_1 = 4a$ и $P_2 = 4b$. Формула для площади боковой поверхности принимает вид:
$S_{бок} = \frac{4a + 4b}{2} \cdot h = 2(a+b)h$.

По условию в усечённую пирамиду вписан шар радиуса $R$. Это возможно только тогда, когда высота пирамиды $H$ равна диаметру шара, то есть $H = 2R$. Кроме того, для такой пирамиды существует свойство, связывающее её элементы. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через середины противоположных сторон оснований. Это сечение является равнобокой трапецией, в которую вписана окружность (большой круг вписанного шара) радиуса $R$. Основания этой трапеции равны сторонам оснований пирамиды ($a$ и $b$), боковые стороны — апофемам пирамиды ($h$), а высота трапеции — высоте пирамиды ($H=2R$).

В любой четырёхугольник, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает: $a + b = h + h = 2h$.

Подставим это соотношение в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 2(2h)h = 4h^2$.

Теперь необходимо найти апофему $h$. Двугранный угол при ребре большего основания равен $45^\circ$. В рассмотренном нами осевом сечении (трапеции) этот угол соответствует углу при большем основании. Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является апофема $h$, одним из катетов — высота пирамиды $H=2R$, а угол, противолежащий этому катету, равен $45^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin(45^\circ) = \frac{H}{h} = \frac{2R}{h}$.

Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, выразим $h$:
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2R}{h} \Rightarrow h = \frac{2 \cdot 2R}{\sqrt{2}} = \frac{4R}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}R$.

Подставим найденное значение апофемы в формулу для площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 4h^2 = 4 \cdot (2\sqrt{2}R)^2 = 4 \cdot (4 \cdot 2 \cdot R^2) = 4 \cdot 8R^2 = 32R^2$.

Ответ: $32R^2$.