Номер 15.28, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.28. В правильную треугольную пирамиду $SABC$ с основанием $ABC$ вписана сфера. К сфере проведена касательная плоскость, параллельная грани $ASC$. Эта плоскость пересекает ребро $SB$ в точке $K$ так, что $BK : KS = 3 : 2$. Найдите двугранный угол пирамиды при ребре основания.

Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида с вершиной $S$. Основание $ABC$ — равносторонний треугольник. Пусть $SO=H$ — высота пирамиды, точка $O$ — центр основания $ABC$. Пусть $M$ — середина ребра $AC$. Тогда $SM$ — апофема боковой грани $ASC$, а $BM$ — медиана и высота основания. Двугранный угол при ребре основания $AC$ — это угол между плоскостями $(ABC)$ и $(ASC)$. Его линейной мерой является угол $\angle SMO$. Обозначим этот угол через $\alpha$.

Найдем радиус $r$ вписанной в пирамиду сферы. Центр вписанной сферы лежит на высоте пирамиды $SO$. Сфера касается основания в точке $O$ и боковых граней. Расстояние от центра сферы до плоскости основания и до плоскости каждой боковой грани равно $r$. Объем пирамиды $V$ и площадь ее полной поверхности $S_{полн}$ связаны с радиусом вписанной сферы формулой $r = \frac{3V}{S_{полн}}$.

Объем пирамиды $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$. Площадь полной поверхности $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ связана с площадью основания $S_{осн}$ через двугранный угол $\alpha$. Площадь основания является суммой проекций площадей боковых граней на плоскость основания. Так как пирамида правильная, то $S_{осн} = S_{бок} \cos \alpha$, откуда $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \alpha}$.

Подставим эти выражения в формулу для радиуса:

$r = \frac{3 \cdot \frac{1}{3} S_{осн} H}{S_{осн} + \frac{S_{осн}}{\cos \alpha}} = \frac{S_{осн} H}{S_{осн}(1 + \frac{1}{\cos \alpha})} = \frac{H}{1 + \frac{1}{\cos \alpha}} = \frac{H \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$.

По условию, к сфере проведена касательная плоскость $\Pi$, параллельная грани $ASC$. Поскольку вписанная сфера касается грани $ASC$, она также касается и плоскости $\Pi$. Сфера оказывается зажатой между двумя параллельными плоскостями $ASC$ и $\Pi$. Расстояние между этими плоскостями равно диаметру сферы, то есть $2r$.

Плоскость $\Pi$ пересекает ребро $SB$ в точке $K$. Точка $K$ лежит в плоскости $\Pi$, поэтому расстояние от точки $K$ до плоскости $ASC$ равно расстоянию между плоскостями $\Pi$ и $ASC$, то есть $d(K, ASC) = 2r$.

Расстояние от точки на отрезке до плоскости меняется линейно. Вершина $S$ лежит в плоскости $ASC$, поэтому расстояние от $S$ до $ASC$ равно нулю: $d(S, ASC) = 0$. Расстояние от точки $K$, лежащей на отрезке $SB$, до плоскости $ASC$ можно найти через отношение, в котором $K$ делит отрезок $SB$:

$d(K, ASC) = \frac{SK}{SB} d(B, ASC) + \frac{BK}{SB} d(S, ASC) = \frac{SK}{SB} d(B, ASC)$.

По условию, $BK : KS = 3 : 2$. Пусть $BK=3x$, тогда $KS=2x$, а все ребро $SB = BK + KS = 3x + 2x = 5x$. Следовательно, $\frac{SK}{SB} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5}$.

Тогда $d(K, ASC) = \frac{2}{5} d(B, ASC)$.

Приравнивая два выражения для $d(K, ASC)$, получаем:$2r = \frac{2}{5} d(B, ASC)$, откуда $r = \frac{1}{5} d(B, ASC)$.

Теперь найдем расстояние от вершины $B$ до плоскости грани $ASC$, $d(B, ASC)$. Выразим объем пирамиды $V$ двумя способами:1. $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot SO = \frac{1}{3} S_{осн} H$.2. Рассматривая $B$ как вершину, а $ASC$ как основание: $V = \frac{1}{3} S_{ASC} \cdot d(B, ASC)$.

Приравнивая объемы, получаем: $S_{осн} H = S_{ASC} d(B, ASC)$.

Площадь грани $ASC$ связана с площадью ее проекции на плоскость основания, $\triangle AOC$. Площадь $\triangle AOC = \frac{1}{3} S_{осн}$. Проекция грани $ASC$ на плоскость основания $ABC$ есть $\triangle AOC$. Однако, проще использовать другую связь. Площадь основания равна сумме проекций боковых граней: $S_{осн} = 3 \cdot S_{ASC} \cos \alpha$. Подставим это в равенство $S_{осн} H = S_{ASC} d(B, ASC)$:

$(3 S_{ASC} \cos \alpha) H = S_{ASC} d(B, ASC)$.

Отсюда $d(B, ASC) = 3H \cos \alpha$.

Теперь у нас есть система уравнений:1. $r = \frac{H \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$2. $r = \frac{1}{5} d(B, ASC) = \frac{1}{5} (3H \cos \alpha) = \frac{3H \cos \alpha}{5}$

Приравняем правые части выражений для $r$:$\frac{H \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{3H \cos \alpha}{5}$.

Поскольку для невырожденной пирамиды $H \neq 0$ и $\alpha \in (0, \pi/2)$, то $\cos \alpha \neq 0$. Мы можем сократить обе части на $H \cos \alpha$:

$\frac{1}{1 + \cos \alpha} = \frac{3}{5}$.

$5 = 3(1 + \cos \alpha)$

$5 = 3 + 3 \cos \alpha$

$2 = 3 \cos \alpha$

$\cos \alpha = \frac{2}{3}$.

Искомый двугранный угол равен $\alpha = \arccos\left(\frac{2}{3}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{2}{3}\right)$.