Номер 15.22, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.22. Около шара описана правильная треугольная усечённая пирамида, стороны оснований которой равны 6 см и 12 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$

где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l$ — апофема (высота боковой грани) усеченной пирамиды.

1. Найдем периметры оснований.

Основаниями являются правильные треугольники со сторонами $a_1 = 6$ см и $a_2 = 12$ см.

Периметр верхнего основания: $P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 6 = 18$ см.

Периметр нижнего основания: $P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 12 = 36$ см.

2. Найдем апофему усеченной пирамиды.

Для того чтобы в правильную усеченную пирамиду можно было вписать шар, необходимо выполнение определенного условия. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через апофемы оснований и апофему боковой грани. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность (большой круг шара).

Основаниями этой трапеции являются радиусы вписанных в основания пирамиды окружностей ($r_1$ и $r_2$), а боковой стороной — апофема усеченной пирамиды $l$. Высота этой трапеции равна высоте усеченной пирамиды $h$, которая в свою очередь равна диаметру вписанного шара ($h=2R$).

Важное свойство: если в многогранник вписана сфера, то высота этого многогранника, проведенная через центр сферы, равна сумме радиусов вписанной и описанной окружностей для сечения, перпендикулярного этой высоте. В нашем случае для трапеции, являющейся осевым сечением, существует свойство: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Однако, наше сечение — это не боковая грань, а сечение через апофемы. Для такого сечения (прямоугольная трапеция с основаниями $r_1$, $r_2$ и высотой $h$, и наклонной стороной $l$) условие вписанности шара приводит к соотношению:

$l = r_1 + r_2$

Найдем радиусы окружностей, вписанных в основания (они же являются апофемами оснований).

Формула радиуса вписанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Для верхнего основания:

$r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Для нижнего основания:

$r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем апофему $l$ усеченной пирамиды:

$l = r_1 + r_2 = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности.

Подставим найденные значения в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l = \frac{1}{2}(18 + 36) \cdot 3\sqrt{3}$

$S_{бок} = \frac{1}{2}(54) \cdot 3\sqrt{3} = 27 \cdot 3\sqrt{3} = 81\sqrt{3}$ см².

Ответ: $81\sqrt{3}$ см².