Номер 15.20, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.20. Докажите, что если центр шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, и центр вписанного в неё шара совпадают, то данная пирамида является правильным тетраэдром.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с основанием $ABC$. $SH$ — высота пирамиды, где $H$ — центр основания $ABC$. Пусть сторона основания равна $a$, а боковое ребро равно $l$.

Поскольку пирамида правильная, центры вписанного и описанного шаров лежат на её высоте $SH$. По условию, эти центры совпадают в некоторой точке $O$.

1. Свойства центра описанного шара.

Центр описанного шара $O$ равноудалён от всех вершин пирамиды. Расстояние от центра до любой вершины является радиусом описанного шара $R$. Следовательно, $OS = OA = OB = OC = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$, где $H$ — проекция точки $O$ на плоскость основания. $AH$ — радиус окружности, описанной около основания $ABC$. Для правильного треугольника со стороной $a$ имеем $AH = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Катет $OH$ — это расстояние от центра шара $O$ до основания.

Из треугольника $AOH$ по теореме Пифагора: $OA^2 = AH^2 + OH^2$, то есть $R^2 = (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 + OH^2 = \frac{a^2}{3} + OH^2$.

Точка $O$ лежит на высоте $SH$. Длина высоты $H = SH = SO + OH = R + OH$. Отсюда $OH = H - R$.

Подставим это в предыдущее уравнение: $R^2 = \frac{a^2}{3} + (H-R)^2$ $R^2 = \frac{a^2}{3} + H^2 - 2HR + R^2$ $2HR = \frac{a^2}{3} + H^2$ (1)

2. Свойства центра вписанного шара.

Центр вписанного шара $O$ равноудалён от всех граней пирамиды. Это расстояние равно радиусу вписанного шара $r$.

Расстояние от точки $O$ до плоскости основания $ABC$ равно длине отрезка $OH$. Следовательно, $OH = r$.

Рассмотрим двугранный угол при ребре основания $BC$. Его линейной мерой является угол $SMH$, где $M$ — середина ребра $BC$, а $SM$ — апофема боковой грани $SBC$. Центр вписанного шара $O$ лежит на биссектрисе этого двугранного угла.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью $SHM$. Это прямоугольный треугольник $SHM$ (с прямым углом $H$). Точка $O$ лежит на катете $SH$. Отрезок $OM$ является биссектрисой угла $\angle SMH$.

В прямоугольном треугольнике $OHM$ имеем: $OH = r$ $HM$ — радиус окружности, вписанной в основание $ABC$. Для правильного треугольника $HM = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Из этого треугольника: $\text{tg}(\frac{\angle SMH}{2}) = \frac{OH}{HM} = \frac{r}{a/(2\sqrt{3})}$.

Из треугольника $SHM$: $\text{tg}(\angle SMH) = \frac{SH}{HM} = \frac{H}{a/(2\sqrt{3})}$.

Воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $\text{tg}(\alpha) = \frac{2\text{tg}(\alpha/2)}{1 - \text{tg}^2(\alpha/2)}$. $\frac{H}{a/(2\sqrt{3})} = \frac{2 \cdot r/(a/(2\sqrt{3}))}{1 - (r/(a/(2\sqrt{3})))^2}$

$H = \frac{2r}{1 - r^2/HM^2} = \frac{2r}{1 - r^2/(a^2/12)} = \frac{2r \cdot a^2/12}{(a^2/12) - r^2}$ $H(a^2 - 12r^2) = 2r \cdot a^2$ $Ha^2 - 12Hr^2 = 2ra^2$ (2)

3. Совмещение условий и завершение доказательства.

Так как центры совпадают, то $OH = r$ и $SO=R$, и $H = SH = R+r$. Подставим $OH=r$ в соотношение (1) для описанного шара: $2HR = \frac{a^2}{3} + H^2$. Поскольку $R = H - r$, получаем: $2H(H-r) = \frac{a^2}{3} + H^2$ $2H^2 - 2Hr = \frac{a^2}{3} + H^2$ $H^2 - 2Hr = \frac{a^2}{3} \implies a^2 = 3(H^2 - 2Hr) = 3H(H-2r)$.

Теперь подставим это выражение для $a^2$ в уравнение (2), полученное из свойств вписанного шара: $H \cdot 3H(H-2r) - 12Hr^2 = 2r \cdot 3H(H-2r)$

Поскольку $H \neq 0$, можно разделить обе части на $3H$: $H(H-2r) - 4r^2 = 2r(H-2r)$ $H^2 - 2Hr - 4r^2 = 2Hr - 4r^2$ $H^2 = 4Hr$

Так как $H \neq 0$, делим на $H$: $H = 4r$.

Теперь, когда мы нашли соотношение между высотой и радиусом вписанной сферы, найдём соотношение между рёбрами пирамиды. Подставим $H = 4r$ в выражение для $a^2$: $a^2 = 3H(H-2r) = 3(4r)(4r-2r) = 12r(2r) = 24r^2$.

Найдём квадрат длины бокового ребра $l$. Из прямоугольного треугольника $SAH$: $l^2 = SA^2 = SH^2 + AH^2 = H^2 + (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = H^2 + \frac{a^2}{3}$.

Подставим найденные значения $H = 4r$ и $a^2 = 24r^2$: $l^2 = (4r)^2 + \frac{24r^2}{3} = 16r^2 + 8r^2 = 24r^2$.

Мы получили, что $l^2 = 24r^2$ и $a^2 = 24r^2$. Следовательно, $l^2 = a^2$, и так как длины рёбер положительны, $l=a$.

В правильной треугольной пирамиде боковые рёбра равны между собой, и рёбра основания равны между собой. Мы доказали, что боковое ребро равно ребру основания. Это означает, что все шесть рёбер пирамиды равны. Пирамида, все грани которой являются равными правильными треугольниками, называется правильным тетраэдром.

Ответ: Доказано, что если центры вписанного и описанного шаров правильной треугольной пирамиды совпадают, то все её рёбра равны, и она является правильным тетраэдром.