Номер 15.16, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.16. Шар, вписанный в правильную четырёхугольную пирамиду, касается одной из её боковых граней в точке A. Найдите площадь сечения этого шара плоскостью, проходящей через точку A параллельно основанию пирамиды, если двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $60^\circ$, а расстояние от центра шара до вершины пирамиды — 8 см.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. $O$ — центр вписанного шара, $R$ — его радиус. Центр $O$ лежит на высоте пирамиды $SH$, где $H$ — центр основания $ABCD$.

1. Нахождение радиуса вписанного шара $R$.

Рассмотрим диагональное сечение пирамиды, проходящее через апофему $SM$ боковой грани (где $M$ — середина ребра основания, например, $BC$) и высоту пирамиды $SH$. В этом сечении (треугольник $SHM$) вписанный шар предстает как окружность, вписанная в угол $\angle SMH$. Этот угол является двугранным углом при ребре основания, и по условию $\angle SMH = 60^\circ$.

Центр вписанной сферы $O$ равноудален от основания $ABCD$ и боковой грани $SBC$. Расстояние от $O$ до основания равно $OH = R$. Расстояние от $O$ до боковой грани $SBC$ также равно $R$. В сечении $SHM$ это расстояние есть перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на апофему $SM$. Таким образом, точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle SMH$.

Следовательно, $\angle OMH = \frac{1}{2} \angle SMH = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OHM$ (где $\angle OHM = 90^\circ$):
$HM = \frac{OH}{\tan(\angle OMH)} = \frac{R}{\tan(30^\circ)} = \frac{R}{1/\sqrt{3}} = R\sqrt{3}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SHM$ (где $\angle SHM = 90^\circ$):
$SH = HM \cdot \tan(\angle SMH) = (R\sqrt{3}) \cdot \tan(60^\circ) = (R\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 3R$.

Высота пирамиды $SH$ состоит из двух отрезков: $SO$ (расстояние от центра шара до вершины) и $OH$ (радиус шара). По условию $SO = 8$ см.
$SH = SO + OH \implies 3R = 8 + R$.
$2R = 8 \implies R = 4$ см.

2. Нахождение положения точки касания $A$ и расстояния от центра шара до секущей плоскости.

Шар касается боковой грани в точке $A$. В силу симметрии пирамиды относительно плоскости $SHM$, точка касания $A$ лежит на апофеме $SM$. Радиус шара, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости (боковой грани). Следовательно, $OA \perp SM$.

Найдем высоту точки $A$ над основанием пирамиды. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle OSM$. Мы знаем его стороны:
- $SO = 8$ см (по условию).- $OH = R = 4$ см, $HM = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см. В прямоугольном треугольнике $\triangle OHM$, $OM = \sqrt{OH^2 + HM^2} = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$ см.- $SH = 3R = 12$ см. В прямоугольном треугольнике $\triangle SHM$, $SM = \sqrt{SH^2 + HM^2} = \sqrt{12^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 48} = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Треугольник $\triangle OSM$ является равнобедренным, так как $SO = OM = 8$ см. Точка $A$ лежит на стороне $SM$, и $OA$ является высотой этого треугольника, опущенной на сторону $SM$.

По теореме косинусов для $\triangle OSM$ найдем угол $\angle OSM$:
$OM^2 = SO^2 + SM^2 - 2 \cdot SO \cdot SM \cdot \cos(\angle OSM)$
$8^2 = 8^2 + (8\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8\sqrt{3} \cdot \cos(\angle OSM)$
$64 = 64 + 192 - 128\sqrt{3} \cdot \cos(\angle OSM)$
$0 = 192 - 128\sqrt{3} \cdot \cos(\angle OSM)$
$\cos(\angle OSM) = \frac{192}{128\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $\angle OSM = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$ ($\angle SAO = 90^\circ$).
$SA = SO \cdot \cos(\angle OSM) = 8 \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см. Поскольку $SM = 8\sqrt{3}$ см, а $SA = 4\sqrt{3}$ см, точка $A$ является серединой апофемы $SM$.

Секущая плоскость проходит через точку $A$ параллельно основанию. Высота точки $A$ над основанием будет равна среднему арифметическому высот точек $S$ и $M$. Высота точки $S$ равна $SH = 12$ см, высота точки $M$ равна $0$. Высота точки $A$: $h_A = \frac{12 + 0}{2} = 6$ см.

Центр шара $O$ находится на высоте $OH = R = 4$ см от основания. Расстояние $d$ от центра шара до секущей плоскости равно разности их высот:
$d = h_A - OH = 6 - 4 = 2$ см.

3. Нахождение площади сечения шара.

Сечением шара является круг. Радиус этого круга $r$ можно найти по формуле, связывающей радиус шара $R$, расстояние от центра до плоскости $d$ и радиус сечения $r$:
$R^2 = d^2 + r^2$.
$4^2 = 2^2 + r^2$.
$16 = 4 + r^2$.
$r^2 = 12$.

Площадь сечения $S_{сеч}$ равна:
$S_{сеч} = \pi r^2 = 12\pi$ см$^2$.

Ответ: $12\pi$ см$^2$.