Номер 15.10, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.10. Найдите радиус шара, вписанного в правильный тетраэдр, ребро которого равно $a$.

15.10.

Для нахождения радиуса $r$ шара, вписанного в многогранник, используется формула, связывающая объем многогранника $V$, площадь его полной поверхности $S_{полн}$ и радиус вписанного шара:

$V = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r$

Из этой формулы выразим искомый радиус:

$r = \frac{3V}{S_{полн}}$

Таким образом, задача сводится к вычислению объема и площади полной поверхности правильного тетраэдра с ребром $a$.

1. Вычисление площади полной поверхности ($S_{полн}$).

Правильный тетраэдр состоит из четырех одинаковых граней, каждая из которых является равносторонним треугольником со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника ($S_{грани}$) вычисляется по формуле:

$S_{грани} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Площадь полной поверхности тетраэдра — это сумма площадей четырех его граней:

$S_{полн} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = a^2 \sqrt{3}$

2. Вычисление объема тетраэдра ($V$).

Объем тетраэдра, как и любой пирамиды, находится по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота тетраэдра.

Площадь основания $S_{осн}$ равна площади одной грани: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Для нахождения высоты $H$ тетраэдра воспользуемся теоремой Пифагора. Высота правильного тетраэдра, опущенная из вершины, падает в центр основания, который является центром описанной около основания окружности. Радиус $R$ этой окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Высота тетраэдра $H$, боковое ребро $a$ и радиус $R$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $a$ — гипотенуза, а $H$ и $R$ — катеты. Следовательно:

$H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

Отсюда находим высоту:

$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Теперь вычисляем объем тетраэдра:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3 \sqrt{18}}{36} = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$

3. Вычисление радиуса вписанного шара ($r$).

Подставляем найденные значения объема $V$ и площади полной поверхности $S_{полн}$ в формулу для радиуса:

$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}}{a^2 \sqrt{3}} = \frac{\frac{a^3 \sqrt{2}}{4}}{a^2 \sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{2}}{4\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$r = \frac{a \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{4 \cdot 3} = \frac{a \sqrt{6}}{12}$

Ответ: $r = \frac{a\sqrt{6}}{12}$