Номер 15.5, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.5. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$. Найдите радиус шара, вписанного в данную призму.

Для того чтобы в прямую призму можно было вписать шар, необходимо и достаточно, чтобы в ее основание можно было вписать окружность, а высота призмы была равна диаметру этой окружности. Радиус вписанного шара $R$ будет равен радиусу $r$ окружности, вписанной в основание призмы.

Найдем радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, который является основанием призмы.

Пусть в прямоугольном треугольнике катет, равный $a$, противолежит углу $\alpha$. Найдем второй катет $b$ и гипотенузу $c$.

Второй катет $b$ прилежит к углу $\alpha$. Из определения тангенса:

$\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b}$

Отсюда находим второй катет $b$:

$b = \frac{a}{\tan \alpha} = a \cot \alpha$

Гипотенузу $c$ найдем из определения синуса:

$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$

Отсюда находим гипотенузу $c$:

$c = \frac{a}{\sin \alpha}$

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле:

$r = \frac{a+b-c}{2}$

Подставим найденные выражения для катета $b$ и гипотенузы $c$:

$r = \frac{a + a \cot \alpha - \frac{a}{\sin \alpha}}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{a}{2}$ за скобки и преобразуем выражение:

$r = \frac{a}{2} \left(1 + \cot \alpha - \frac{1}{\sin \alpha}\right) = \frac{a}{2} \left(1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{1}{\sin \alpha}\right) = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sin \alpha + \cos \alpha - 1}{\sin \alpha}$

Так как радиус вписанного шара $R$ равен радиусу вписанной в основание окружности $r$, то искомый радиус шара равен:

$R = \frac{a(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)}{2 \sin \alpha}$

Ответ: $R = \frac{a(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)}{2 \sin \alpha}$