Номер 14.37, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.37. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 12 см, а меньшая боковая сторона – $4\sqrt{3}$ см. Найдите площадь трапеции, если один из её углов равен $120^\circ$.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой основаниями являются $AD$ и $BC$, а меньшая боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям.

Из условия задачи имеем:

• Меньшее основание $BC = 12$ см.
• Меньшая боковая сторона (высота) $AB = h = 4\sqrt{3}$ см.
• Один из углов равен $120°$.

В прямоугольной трапеции углы при меньшей боковой стороне прямые, то есть $\angle A = \angle B = 90°$. Следовательно, угол в $120°$ — это один из углов при большей боковой стороне, $\angle C$ или $\angle D$. Так как сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180°$, то один из этих углов острый, а другой — тупой. Значит, тупой угол $\angle C = 120°$. Тогда острый угол $\angle D$ можно найти так:

$\angle D = 180° - \angle C = 180° - 120° = 60°$.

Для вычисления площади трапеции воспользуемся формулой:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. Нам неизвестно большее основание $AD$.

Проведем высоту $CE$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Получим прямоугольник $ABCE$ и прямоугольный треугольник $CED$.

В прямоугольнике $ABCE$:

$AE = BC = 12$ см.

$CE = AB = 4\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CED$ ($\angle E = 90°$). В нем нам известны катет $CE$ и угол $\angle D = 60°$. Найдем катет $ED$ через тангенс угла $D$:

$\tan(\angle D) = \frac{CE}{ED}$

$ED = \frac{CE}{\tan(\angle D)} = \frac{4\sqrt{3}}{\tan(60°)}$

Так как $\tan(60°) = \sqrt{3}$, то:

$ED = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$ см.

Теперь найдем длину большего основания $AD$:

$AD = AE + ED = 12 + 4 = 16$ см.

Подставим все известные значения в формулу площади трапеции:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot AB = \frac{16+12}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{28}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 14 \cdot 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3}$ см².

Ответ: $56\sqrt{3}$ см².