Номер 14.36, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.36. Дан равногранный тетраэдр, в котором рёбра равны $a$, $b$ и $c$. Найдите радиус сферы, описанной около этого тетраэдра.

Равногранный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все четыре грани являются равными (конгруэнтными) треугольниками. Важным свойством такого тетраэдра является то, что его противолежащие рёбра попарно равны. В условии задачи дано, что рёбра равны $a$, $b$ и $c$. В контексте равногранного тетраэдра это означает, что длины трёх пар противолежащих рёбер равны $a$, $b$ и $c$.

Любой равногранный тетраэдр можно вписать в прямоугольный параллелепипед. Вершины тетраэдра совпадут с четырьмя вершинами параллелепипеда, никакие две из которых не лежат на одном ребре. Рёбра тетраэдра при этом будут являться диагоналями граней параллелепипеда.

Пусть измерения этого прямоугольного параллелепипеда равны $x$, $y$ и $z$. Тогда квадраты длин диагоналей его граней равны $x^2+y^2$, $x^2+z^2$ и $y^2+z^2$. Каждая из этих длин соответствует паре противолежащих рёбер тетраэдра. Таким образом, мы можем составить систему уравнений:

$x^2 + y^2 = a^2$

$x^2 + z^2 = b^2$

$y^2 + z^2 = c^2$

Сфера, описанная около тетраэдра, совпадает со сферой, описанной около этого параллелепипеда. Радиус $R$ описанной сферы равен половине длины пространственной диагонали $d$ параллелепипеда. Длина диагонали вычисляется по формуле $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, следовательно, $R = \frac{d}{2}$, или в квадрате $R^2 = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{4}$.

Чтобы найти $R$, сначала найдём сумму $x^2 + y^2 + z^2$. Для этого сложим три уравнения системы:

$(x^2 + y^2) + (x^2 + z^2) + (y^2 + z^2) = a^2 + b^2 + c^2$

$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 = a^2 + b^2 + c^2$

$2(x^2 + y^2 + z^2) = a^2 + b^2 + c^2$

Отсюда получаем:

$x^2 + y^2 + z^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}$

Теперь подставим найденное выражение для $x^2 + y^2 + z^2$ в формулу для квадрата радиуса:

$R^2 = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{4} = \frac{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}}{4} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{8}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем искомый радиус сферы:

$R = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{8}}$

Ответ: $R = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{8}}$