Страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.27. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 2 см и 14 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная усечённая пирамида. Стороны её оснований равны $a_1 = 14$ см и $a_2 = 2$ см. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha = 45^\circ$.

Центр шара, описанного около правильной усечённой пирамиды, лежит на её оси (линии, соединяющей центры оснований). Для нахождения радиуса этого шара рассмотрим диагональное сечение пирамиды.

Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, вершины которой также являются вершинами пирамиды и, следовательно, лежат на описанной сфере. Таким образом, радиус шара, описанного около пирамиды, совпадает с радиусом окружности, описанной около этой трапеции.

Основаниями трапеции служат диагонали квадратных оснований пирамиды. Найдём их длины:
Диагональ нижнего основания: $d_1 = a_1 \sqrt{2} = 14\sqrt{2}$ см.
Диагональ верхнего основания: $d_2 = a_2 \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Радиусы окружностей, описанных около оснований пирамиды, равны половинам их диагоналей:
$r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}$ см.
$r_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

Высоту пирамиды $H$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой $H$ и проекцией бокового ребра на плоскость нижнего основания. Длина этой проекции равна разности радиусов описанных окружностей оснований: $r_1 - r_2$.
$r_1 - r_2 = 7\sqrt{2} - \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

По условию, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $45^\circ$. В рассматриваемом прямоугольном треугольнике это угол между гипотенузой (боковым ребром) и одним из катетов (его проекцией). Второй катет — это высота $H$. Следовательно:
$\tan(45^\circ) = \frac{H}{r_1 - r_2}$
Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:
$H = r_1 - r_2 = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь найдём радиус $R$ окружности, описанной около нашей равнобокой трапеции. Для этого введём систему координат. Пусть ось пирамиды совпадает с осью $Oy$, а центр нижнего основания — с началом координат $(0,0)$.
Тогда координаты вершин трапеции в этой системе:
Вершины нижнего основания: $(-r_1, 0)$ и $(r_1, 0)$, то есть $(-7\sqrt{2}, 0)$ и $(7\sqrt{2}, 0)$.
Вершины верхнего основания: $(-r_2, H)$ и $(r_2, H)$, то есть $(-\sqrt{2}, 6\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}, 6\sqrt{2})$.

Центр описанной окружности лежит на оси симметрии трапеции (оси $Oy$), и его координаты можно обозначить как $(0, y_0)$. Квадрат радиуса $R$ равен квадрату расстояния от центра $(0, y_0)$ до любой из вершин.
Расстояние до вершины нижнего основания: $R^2 = (r_1 - 0)^2 + (0 - y_0)^2 = r_1^2 + y_0^2$.
Расстояние до вершины верхнего основания: $R^2 = (r_2 - 0)^2 + (H - y_0)^2 = r_2^2 + (H - y_0)^2$.

Приравняем правые части уравнений:
$r_1^2 + y_0^2 = r_2^2 + H^2 - 2Hy_0 + y_0^2$
$r_1^2 = r_2^2 + H^2 - 2Hy_0$
$2Hy_0 = r_2^2 - r_1^2 + H^2$
$y_0 = \frac{r_2^2 - r_1^2 + H^2}{2H}$

Подставим численные значения:
$r_1^2 = (7\sqrt{2})^2 = 98$
$r_2^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
$H^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72$
$y_0 = \frac{2 - 98 + 72}{2 \cdot 6\sqrt{2}} = \frac{-24}{12\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$ см.

Наконец, найдём радиус $R$, подставив значение $y_0$ в первое уравнение для $R^2$:
$R^2 = r_1^2 + y_0^2 = 98 + (-\sqrt{2})^2 = 98 + 2 = 100$
$R = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

14.28. Найдите радиус шара, описанного около усечённой пирамиды $ABC A_1 B_1 C_1$, если $\angle ABC = 90^\circ$, $AB = 8$ см, $BC = 16\sqrt{2}$ см, $B_1C_1 = 12\sqrt{2}$ см, а высота пирамиды равна 3 см.

Для того чтобы найти радиус шара, описанного около усеченной пирамиды, воспользуемся тем фактом, что все вершины пирамиды лежат на поверхности этого шара. Это означает, что основания усеченной пирамиды вписаны в окружности, которые являются сечениями шара плоскостями оснований. Центр шара будет равноудален от всех вершин пирамиды.

Центр шара лежит на прямой, перпендикулярной плоскостям оснований и проходящей через центры окружностей, описанных около оснований.

1. Нахождение радиусов окружностей, описанных около оснований

Нижнее основание – треугольник $ABC$. По условию, $\angle ABC = 90^\circ$, значит, треугольник $ABC$ – прямоугольный. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Найдем гипотенузу $AC$ по теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + (16\sqrt{2})^2 = 64 + 256 \cdot 2 = 64 + 512 = 576$ см$^2$.

$AC = \sqrt{576} = 24$ см.

Радиус окружности, описанной около нижнего основания, равен половине гипотенузы:

$r_1 = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Верхнее основание – треугольник $A_1B_1C_1$. Он подобен треугольнику $ABC$, следовательно, он также является прямоугольным с $\angle A_1B_1C_1 = 90^\circ$. Коэффициент подобия $k$ можно найти из отношения соответствующих сторон:

$k = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{12\sqrt{2}}{16\sqrt{2}} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.

Гипотенуза верхнего основания $A_1C_1$ равна:

$A_1C_1 = k \cdot AC = \frac{3}{4} \cdot 24 = 18$ см.

Радиус окружности, описанной около верхнего основания:

$r_2 = \frac{A_1C_1}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

2. Нахождение радиуса описанного шара

Пусть $R$ – радиус шара, $O$ – его центр. $O_1$ и $O_2$ – центры окружностей, описанных около нижнего и верхнего оснований соответственно. Расстояние между плоскостями оснований равно высоте усеченной пирамиды $h = 3$ см.

Рассмотрим сечение, проходящее через ось пирамиды (прямую $O_1O_2$). Пусть центр шара $O$ находится на расстоянии $x$ от плоскости нижнего основания (плоскости, содержащей $O_1$). Тогда расстояние от центра шара до плоскости верхнего основания будет $|h-x|$.

Радиус шара $R$ можно выразить через радиусы оснований и расстояние $x$, используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников, образованных радиусом шара, радиусом окружности основания и отрезком оси:

$R^2 = r_1^2 + x^2$

$R^2 = r_2^2 + (h-x)^2$

Приравняем правые части уравнений и подставим известные значения $r_1=12$, $r_2=9$ и $h=3$:

$12^2 + x^2 = 9^2 + (3-x)^2$

$144 + x^2 = 81 + 9 - 6x + x^2$

$144 = 90 - 6x$

$6x = 90 - 144$

$6x = -54$

$x = -9$ см.

Отрицательное значение $x$ означает, что центр шара $O$ находится вне усеченной пирамиды, со стороны большего основания, на расстоянии 9 см от него.

Теперь найдем радиус шара $R$, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$R^2 = 12^2 + (-9)^2 = 144 + 81 = 225$

$R = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.

14.29. В треугольной пирамиде $SABC$ боковые грани $ASB$ и $CSB$ равны и перпендикулярны плоскости основания, а грань $ASC$ образует с плоскостью основания угол $\beta$. Радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $r$, а угол $ABC$ равен $\alpha$. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Поскольку боковые грани $ASB$ и $CSB$ перпендикулярны плоскости основания $(ABC)$, их линия пересечения — ребро $SB$ — также перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, $SB$ является высотой пирамиды $SABC$. Обозначим ее длину как $H$.

Так как $SB \perp (ABC)$, то треугольники $\triangle ASB$ и $\triangle CSB$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $B$. По условию эти грани (треугольники) равны. У них общий катет $SB$, значит, должны быть равны и вторые катеты: $AB = CB$. Таким образом, треугольник $ABC$ в основании является равнобедренным.

Угол между гранью $ASC$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это двугранный угол при ребре $AC$. Для нахождения его линейного угла проведем высоту и медиану $BM$ в равнобедренном треугольнике $ABC$. Так как $BM$ — высота, $BM \perp AC$. Поскольку $SB$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $SM$ — наклонная, то по теореме о трех перпендикулярах $SM \perp AC$. Следовательно, $\angle SMB$ — линейный угол данного двугранного угла, и по условию $\angle SMB = \beta$.

Пусть $R_{сф}$ — искомый радиус описанной сферы. Центр описанной сферы равноудален от всех вершин пирамиды. Множество точек, равноудаленных от вершин основания $A, B, C$, есть прямая, перпендикулярная плоскости $(ABC)$ и проходящая через центр $O$ описанной около $\triangle ABC$ окружности. Множество точек, равноудаленных от вершин $S$ и $B$, есть плоскость, проходящая через середину отрезка $SB$ и перпендикулярная ему.

Так как $SB \perp (ABC)$, то перпендикуляр к $(ABC)$, проходящий через $O$, параллелен $SB$. Пусть центр сферы находится на высоте $z_c$ над плоскостью, содержащей центр $O$, в системе координат, где плоскость $(ABC)$ параллельна плоскости $xy$. Тогда квадрат радиуса сферы можно выразить как расстояние до любой из вершин. Пусть $r$ — радиус описанной окружности $\triangle ABC$.

$R_{сф}^2 = r^2 + z_c^2$ (расстояние до вершин $A, B, C$). $R_{сф}^2 = OB^2 + (z_c - H)^2$ неверно. Правильнее так: пусть центр сферы $Q$ имеет проекцию $O$ на плоскость $(ABC)$. Тогда $QO \perp (ABC)$. Расстояние от $Q$ до вершин $A, B, C$ равно $\sqrt{QO^2 + OA^2} = \sqrt{QO^2 + r^2}$. Расстояние от $Q$ до вершины $S$ должно быть таким же. Пусть $K$ — середина $SB$. Плоскость, перпендикулярная $SB$, параллельна $(ABC)$ и находится на высоте $H/2$ от точки $B$. Расстояние от $Q$ до $S$ и до $B$ должно быть одинаковым.

Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке $B$, осью $z$ вдоль $SB$ и плоскостью $(ABC)$ в плоскости $xy$. Тогда $B(0,0,0)$, $S(0,0,H)$. Пусть $O(x_o, y_o, 0)$ — центр описанной окружности $\triangle ABC$. Центр сферы $Q$ лежит на перпендикуляре к $(ABC)$, проходящем через $O$, поэтому его координаты $Q(x_o, y_o, z_q)$.

$R_{сф}^2 = QB^2 = x_o^2 + y_o^2 + z_q^2 = OB^2 + z_q^2 = r^2 + z_q^2$.

$R_{сф}^2 = QS^2 = x_o^2 + y_o^2 + (z_q - H)^2 = OB^2 + (z_q - H)^2 = r^2 + (z_q - H)^2$.

Приравнивая выражения для $R_{сф}^2$, получаем: $r^2 + z_q^2 = r^2 + (z_q - H)^2$, откуда $z_q^2 = z_q^2 - 2z_q H + H^2$, что дает $z_q = H/2$.

Таким образом, $R_{сф}^2 = r^2 + (H/2)^2$. Для нахождения $R_{сф}$ необходимо найти высоту $H$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle SBM$ ($\angle SBM = 90^\circ$): $H = SB = BM \cdot \tan(\angle SMB) = BM \cdot \tan\beta$.

Найдем длину $BM$. В равнобедренном $\triangle ABC$ с $\angle ABC = \alpha$ углы при основании равны $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - \alpha)/2 = 90^\circ - \alpha/2$. По теореме синусов для $\triangle ABC$:

$\frac{AB}{\sin(90^\circ - \alpha/2)} = 2r \implies AB = 2r \cos(\alpha/2)$.

В равнобедренном $\triangle ABC$ медиана $BM$ является также биссектрисой и высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABM$, в котором $\angle BMA = 90^\circ$ и $\angle ABM = \alpha/2$.

$BM = AB \cdot \cos(\angle ABM) = (2r \cos(\alpha/2)) \cdot \cos(\alpha/2) = 2r \cos^2(\alpha/2)$.

Теперь найдем высоту пирамиды $H$:

$H = BM \cdot \tan\beta = 2r \cos^2(\alpha/2) \tan\beta$.

Подставим $H$ в формулу для радиуса сферы:

$R_{сф} = \sqrt{r^2 + (\frac{H}{2})^2} = \sqrt{r^2 + \left(\frac{2r \cos^2(\alpha/2) \tan\beta}{2}\right)^2} = \sqrt{r^2 + (r \cos^2(\alpha/2) \tan\beta)^2}$.

$R_{сф} = \sqrt{r^2(1 + \cos^4(\alpha/2) \tan^2\beta)} = r \sqrt{1 + \cos^4(\alpha/2) \tan^2\beta}$.

Ответ: $r \sqrt{1 + \cos^4(\alpha/2) \tan^2\beta}$.

14.30. Основанием тетраэдра $DABC$ является треугольник $ABC$, в котором $AC = 5$ см, $BC = 7$ см, $AB = 4\sqrt{2}$ см. Грани $ADC$ и $ADB$ перпендикулярны плоскости основания, а грань $BDC$ образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$. Найдите радиус сферы, описанной около тетраэдра.

Поскольку грани $ADC$ и $ADB$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$, то их линия пересечения, ребро $AD$, также перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, $AD$ — высота тетраэдра, а треугольники $ \triangle ADB $ и $ \triangle ADC $ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $A$.

Угол между гранью $BDC$ и плоскостью основания $ABC$ — это двугранный угол при ребре $BC$. Его линейной мерой является угол $ \angle DHA $, где $H$ — основание высоты $AH$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$ в треугольнике $ABC$. Так как $ AD \perp (ABC) $, то по теореме о трех перпендикулярах $ DH \perp BC $. Таким образом, $ \angle DHA $ — искомый угол.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ADH $ (угол $ \angle DAH = 90^\circ $). По условию, угол между гранью $BDC$ и плоскостью основания равен $ 45^\circ $, то есть $ \angle DHA = 45^\circ $. Тогда из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$ \tan(\angle DHA) = \frac{AD}{AH} $$ \tan(45^\circ) = 1 = \frac{AD}{AH} \implies AD = AH $Для нахождения высоты тетраэдра $AD$ необходимо найти длину высоты $AH$ в треугольнике основания $ABC$.

Найдем высоту $AH$ в треугольнике $ABC$ со сторонами $ AC = 5 $ см, $ BC = 7 $ см, $ AB = 4\sqrt{2} $ см. Для этого сначала вычислим площадь треугольника $ABC$. Воспользуемся теоремой косинусов, чтобы найти косинус угла $C$:$ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C $$ (4\sqrt{2})^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos C $$ 32 = 25 + 49 - 70 \cos C $$ 32 = 74 - 70 \cos C $$ 70 \cos C = 42 $$ \cos C = \frac{42}{70} = \frac{3}{5} $

Используя основное тригонометрическое тождество, найдем синус угла $C$:$ \sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $Теперь найдем площадь треугольника $ABC$:$ S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{4}{5} = 14 $ см². Площадь также можно выразить через высоту $AH$ и основание $BC$:$ S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AH $$ 14 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot AH $$ AH = \frac{14 \cdot 2}{7} = 4 $ см. Следовательно, высота тетраэдра $ AD = AH = 4 $ см.

Теперь найдем радиус $R$ описанной около тетраэдра сферы. Центр описанной сферы $O$ равноудален от всех четырех вершин. Пусть $O_{ABC}$ — центр окружности, описанной около основания $ABC$, а $R_{ABC}$ — ее радиус. Центр сферы $O$ лежит на прямой, перпендикулярной плоскости $ABC$ и проходящей через точку $O_{ABC}$. Расстояние от центра сферы $O$ до плоскости основания $ABC$ равно $z_O$. Тогда квадрат радиуса сферы можно выразить как $ R^2 = R_{ABC}^2 + z_O^2 $. Проекцией вершины $D$ на плоскость основания является вершина $A$. Расстояние от $O$ до $D$ также равно $R$. Квадрат этого расстояния равен $ R^2 = (AO_{ABC})^2 + (AD-z_O)^2 $. Поскольку $AO_{ABC}=R_{ABC}$, то $ R^2 = R_{ABC}^2 + (AD-z_O)^2 $. Приравнивая два выражения для $R^2$, получаем:$ R_{ABC}^2 + z_O^2 = R_{ABC}^2 + (AD - z_O)^2 $$ z_O^2 = (AD - z_O)^2 $Так как $z_O$ и $AD$ — длины, то $ z_O = AD - z_O $, откуда $ 2z_O = AD $, и $ z_O = \frac{AD}{2} = \frac{4}{2} = 2 $ см.

Найдем радиус $R_{ABC}$ окружности, описанной около треугольника $ABC$:$ R_{ABC} = \frac{AC \cdot BC \cdot AB}{4 S_{ABC}} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 4\sqrt{2}}{4 \cdot 14} = \frac{140\sqrt{2}}{56} = \frac{5\sqrt{2}}{2} $ см.

Теперь можем найти радиус $R$ описанной сферы:$ R^2 = R_{ABC}^2 + z_O^2 = (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 + 2^2 = \frac{25 \cdot 2}{4} + 4 = \frac{50}{4} + 4 = 12.5 + 4 = 16.5 $$ R = \sqrt{16.5} = \sqrt{\frac{33}{2}} = \frac{\sqrt{66}}{2} $ см.

Ответ: $ \frac{\sqrt{66}}{2} $ см.

14.31. Основанием пирамиды является квадрат, сторона которого равна $2a$. Высота пирамиды проходит через середину одного из рёбер основания и равна $a\sqrt{3}$. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Пусть основание пирамиды, квадрат $ABCD$, лежит в плоскости $xy$. Сторона квадрата равна $2a$. Разместим вершины основания следующим образом:

• $A(2a, 0, 0)$
• $B(2a, 2a, 0)$
• $C(0, 2a, 0)$
• $D(0, 0, 0)$

Согласно условию, высота пирамиды проходит через середину одного из рёбер основания. Выберем ребро $AD$. Середина ребра $AD$, точка $H$, имеет координаты:

$H = \left(\frac{2a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, 0\right) = (a, 0, 0)$

Высота пирамиды $h = a\sqrt{3}$. Вершина пирамиды $S$ находится над точкой $H$ на высоте $h$. Таким образом, координаты вершины $S$ равны:

$S(a, 0, a\sqrt{3})$

Центр описанной сферы $O(x, y, z)$ равноудалён от всех вершин пирамиды. Расстояние от центра сферы до любой из вершин равно радиусу сферы $R$. Следовательно, выполняется равенство:

$OA^2 = OB^2 = OC^2 = OD^2 = OS^2 = R^2$

Запишем уравнения, используя координаты вершин:

1. $OD^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = x^2 + y^2 + z^2$

2. $OA^2 = (x-2a)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = (x-2a)^2 + y^2 + z^2$

3. $OC^2 = (x-0)^2 + (y-2a)^2 + (z-0)^2 = x^2 + (y-2a)^2 + z^2$

Приравняем $OD^2$ и $OA^2$:

$x^2 + y^2 + z^2 = (x-2a)^2 + y^2 + z^2$

$x^2 = x^2 - 4ax + 4a^2$

$4ax = 4a^2 \implies x = a$

Приравняем $OD^2$ и $OC^2$:

$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y-2a)^2 + z^2$

$y^2 = y^2 - 4ay + 4a^2$

$4ay = 4a^2 \implies y = a$

Таким образом, центр сферы имеет координаты $O(a, a, z)$. Теперь найдем координату $z$, приравняв расстояние до вершины основания (например, $D$) и до вершины пирамиды $S$.

$OD^2 = a^2 + a^2 + z^2 = 2a^2 + z^2$

$OS^2 = (x-a)^2 + (y-0)^2 + (z-a\sqrt{3})^2 = (a-a)^2 + (a-0)^2 + (z-a\sqrt{3})^2 = a^2 + (z-a\sqrt{3})^2$

Приравняем $OD^2$ и $OS^2$:

$2a^2 + z^2 = a^2 + (z-a\sqrt{3})^2$

$2a^2 + z^2 = a^2 + z^2 - 2az\sqrt{3} + (a\sqrt{3})^2$

$2a^2 + z^2 = a^2 + z^2 - 2az\sqrt{3} + 3a^2$

$2a^2 = 4a^2 - 2az\sqrt{3}$

$2az\sqrt{3} = 2a^2$

$z = \frac{2a^2}{2a\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Итак, центр сферы находится в точке $O\left(a, a, \frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$.

Теперь найдем квадрат радиуса сферы $R^2$, используя, например, расстояние $OD$:

$R^2 = OD^2 = x^2 + y^2 + z^2 = a^2 + a^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2$

$R^2 = 2a^2 + \frac{3a^2}{9} = 2a^2 + \frac{a^2}{3} = \frac{6a^2 + a^2}{3} = \frac{7a^2}{3}$

Отсюда находим радиус $R$:

$R = \sqrt{\frac{7a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{21}}{3}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{21}}{3}$.

14.32. Основанием пирамиды является прямоугольник, стороны которого равны $a$ и $2a$. Основанием высоты пирамиды является середина меньшего ребра её основания. Высота пирамиды равна $a$. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ - прямоугольник в основании. Пусть стороны основания равны $AD = BC = a$ (меньшие стороны) и $AB = CD = 2a$ (большие стороны). Пусть $H$ - середина меньшей стороны $AD$. По условию, основание высоты пирамиды - точка $H$, а сама высота $SH = a$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину $D(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DC$, ось $Oy$ - вдоль ребра $DA$, а ось $Oz$ - перпендикулярно плоскости основания. В этой системе координат вершины основания имеют следующие координаты:
$D(0; 0; 0)$
$A(0; a; 0)$
$C(2a; 0; 0)$
$B(2a; a; 0)$

Точка $H$ является серединой отрезка $AD$, поэтому ее координаты: $H(\frac{0+0}{2}; \frac{0+a}{2}; \frac{0+0}{2}) = H(0; \frac{a}{2}; 0)$.

Высота пирамиды $SH$ перпендикулярна основанию и равна $a$. Следовательно, вершина пирамиды $S$ имеет координаты $S(0; \frac{a}{2}; a)$.

Пусть $O(x; y; z)$ - центр описанной сферы, а $R$ - ее радиус. Центр сферы равноудален от всех вершин пирамиды, то есть $OD = OA = OC = OS = R$. Это эквивалентно равенству квадратов расстояний: $OD^2 = OA^2 = OC^2 = OS^2 = R^2$.

Запишем эти равенства в координатах, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2$:
$R^2 = OD^2 = x^2 + y^2 + z^2$
$R^2 = OA^2 = x^2 + (y-a)^2 + z^2$
$R^2 = OC^2 = (x-2a)^2 + y^2 + z^2$
$R^2 = OS^2 = x^2 + (y-\frac{a}{2})^2 + (z-a)^2$

Составим систему уравнений, приравнивая выражение для $OD^2$ к остальным.
Из $OD^2 = OC^2$ следует:
$x^2 + y^2 + z^2 = (x-2a)^2 + y^2 + z^2$
$x^2 = (x-2a)^2$
$x^2 = x^2 - 4ax + 4a^2$
$4ax = 4a^2$
$x = a$

Из $OD^2 = OA^2$ следует:
$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y-a)^2 + z^2$
$y^2 = (y-a)^2$
$y^2 = y^2 - 2ay + a^2$
$2ay = a^2$
$y = \frac{a}{2}$

Теперь, зная $x$ и $y$, приравняем $OD^2$ и $OS^2$:
$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y-\frac{a}{2})^2 + (z-a)^2$
Подставим $y = \frac{a}{2}$:
$y^2 + z^2 = (y-\frac{a}{2})^2 + (z-a)^2$
$(\frac{a}{2})^2 + z^2 = (\frac{a}{2}-\frac{a}{2})^2 + (z-a)^2$
$\frac{a^2}{4} + z^2 = 0 + (z-a)^2$
$\frac{a^2}{4} + z^2 = z^2 - 2az + a^2$
$\frac{a^2}{4} = a^2 - 2az$
$2az = a^2 - \frac{a^2}{4}$
$2az = \frac{3a^2}{4}$
$z = \frac{3a^2}{8a} = \frac{3a}{8}$

Итак, центр описанной сферы имеет координаты $O(a; \frac{a}{2}; \frac{3a}{8})$.

Теперь найдем квадрат радиуса сферы, используя расстояние от центра $O$ до любой вершины, например, до $D(0;0;0)$:
$R^2 = OD^2 = x^2 + y^2 + z^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{3a}{8})^2$
$R^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{9a^2}{64}$
Приведем к общему знаменателю:
$R^2 = \frac{64a^2}{64} + \frac{16a^2}{64} + \frac{9a^2}{64} = \frac{(64+16+9)a^2}{64} = \frac{89a^2}{64}$

Отсюда находим радиус:
$R = \sqrt{\frac{89a^2}{64}} = \frac{a\sqrt{89}}{8}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{89}}{8}$

14.33. В сферу радиуса $R$ вписана правильная треугольная призма со стороной основания $a$. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через центр сферы и сторону основания призмы.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA'B'C'$, вписанная в сферу радиуса $R$ с центром в точке $O$. Сторона основания призмы равна $a$. Основания призмы — правильные треугольники $ABC$ и $A'B'C'$. Поскольку призма вписана в сферу, все ее вершины лежат на поверхности сферы. Центр сферы $O$ совпадает с центром призмы и лежит на середине высоты, соединяющей центры оснований $O_1$ и $O_2$.

Найдем высоту призмы $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO_1A$, где $A$ — вершина основания, $O_1$ — центр основания $ABC$. Гипотенуза $OA$ равна радиусу сферы $R$. Один катет $OO_1$ равен половине высоты призмы, $OO_1 = H/2$. Второй катет $O_1A$ — это радиус окружности, описанной около правильного треугольника $ABC$. Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $r_c$ равен $a/\sqrt{3}$.

По теореме Пифагора для треугольника $OO_1A$:$R^2 = (OO_1)^2 + (O_1A)^2$$R^2 = (H/2)^2 + (a/\sqrt{3})^2$$R^2 = H^2/4 + a^2/3$Отсюда выразим квадрат высоты призмы:$H^2/4 = R^2 - a^2/3 \implies H^2 = 4(R^2 - a^2/3)$

Секущая плоскость проходит через сторону основания, например $AB$, и центр сферы $O$. Эта плоскость пересекает верхнее основание призмы по отрезку $DE$, параллельному $A'B'$ (и, следовательно, $AB$). Таким образом, сечение представляет собой трапецию $ABED$. Так как призма правильная, а плоскость проходит через ее центр $O$, трапеция является равнобокой. Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{AB + DE}{2} \cdot h_{\text{трап}}$где $AB = a$, а $h_{\text{трап}}$ — высота трапеции.

Для нахождения длины второго основания $DE$ и высоты трапеции рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через ее ось $O_1O_2$ и медианы оснований $CM$ и $C'M'$, перпендикулярные сторонам $AB$ и $A'B'$ соответственно (где $M$ и $M'$ — середины $AB$ и $A'B'$). В этой плоскости симметрии построим двумерную систему координат с началом в центре сферы $O$. Ось $Oy$ направим вдоль оси призмы $O_1O_2$. Координаты точек в этой плоскости: $O(0,0)$, $O_1(0, -H/2)$, $O_2(0, H/2)$. Точка $M$ (середина $AB$) имеет координаты $(r_i, -H/2)$, где $r_i$ — радиус вписанной в основание окружности: $r_i = a/(2\sqrt{3})$. Итак, $M(a/(2\sqrt{3}), -H/2)$.

Секущая плоскость в нашем координатном представлении — это прямая, проходящая через точки $O$ и $M$. Уравнение этой прямой: $y = kx$, где $k = \frac{-H/2}{a/(2\sqrt{3})} = -\frac{H\sqrt{3}}{a}$. Эта прямая пересекает плоскость верхнего основания ($y=H/2$) в точке $N$, которая является серединой отрезка $DE$. Найдем ее $x$-координату:$H/2 = -\frac{H\sqrt{3}}{a} \cdot x_N \implies x_N = -\frac{a}{2\sqrt{3}}$Итак, точка $N$ имеет координаты $(-a/(2\sqrt{3}), H/2)$.

Теперь найдем длину $DE$. В верхнем основании $A'B'C'$ точка $N$ лежит на медиане $C'M'$. Расстояние от центра $O_2$ до точки $N$ равно $|x_N| = a/(2\sqrt{3})$. Треугольник $C'DE$ подобен треугольнику $C'A'B'$. Отношение их сторон равно отношению их высот, проведенных из вершины $C'$. Высота $C'N$ треугольника $C'DE$ равна: $C'N = C'O_2 - O_2N = r_c - |x_N| = a/\sqrt{3} - a/(2\sqrt{3}) = a/(2\sqrt{3})$. Высота $C'M'$ треугольника $C'A'B'$ равна $a\sqrt{3}/2$. Отношение высот: $\frac{C'N}{C'M'} = \frac{a/(2\sqrt{3})}{a\sqrt{3}/2} = \frac{1}{3}$. Следовательно, $\frac{DE}{A'B'} = \frac{1}{3}$, и так как $A'B' = a$, получаем $DE = a/3$.

Высота трапеции $h_{\text{трап}}$ — это расстояние $MN$. Найдем его, используя координаты точек $M(a/(2\sqrt{3}), -H/2)$ и $N(-a/(2\sqrt{3}), H/2)$:$h_{\text{трап}}^2 = MN^2 = (x_M - x_N)^2 + (y_M - y_N)^2$$MN^2 = \left(\frac{a}{2\sqrt{3}} - \left(-\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)\right)^2 + \left(-\frac{H}{2} - \frac{H}{2}\right)^2$$MN^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 + (-H)^2 = \frac{a^2}{3} + H^2$Подставим ранее найденное выражение для $H^2$:$MN^2 = \frac{a^2}{3} + 4(R^2 - a^2/3) = \frac{a^2}{3} + 4R^2 - \frac{4a^2}{3} = 4R^2 - a^2$$h_{\text{трап}} = MN = \sqrt{4R^2 - a^2}$

Наконец, вычислим площадь сечения — трапеции $ABED$:$S = \frac{a + a/3}{2} \cdot \sqrt{4R^2 - a^2} = \frac{4a/3}{2} \cdot \sqrt{4R^2 - a^2} = \frac{2a}{3}\sqrt{4R^2 - a^2}$

Ответ: $\frac{2a}{3}\sqrt{4R^2 - a^2}$

14.34. В сферу вписана правильная треугольная призма со стороной основания $a$ и боковым ребром $b$. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через центр сферы и сторону основания призмы.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABC A_1B_1C_1$, вписанная в сферу. Сторона основания $AB = BC = CA = a$, боковое ребро $AA_1 = b$. Центр сферы $O$ совпадает с центром призмы и лежит на середине высоты, соединяющей центры оснований призмы.

Плоскость сечения проходит через сторону основания, например $AB$, и центр сферы $O$. Поскольку плоскость сечения не параллельна основаниям призмы, она пересекает верхнее основание по прямой, параллельной $AB$. Таким образом, сечение представляет собой трапецию. В силу симметрии правильной призмы относительно плоскости, проходящей через ребро $CC_1$ и середину ребра $AB$, сечение является равнобедренной трапецией.

Для нахождения площади трапеции нам необходимо определить длины ее оснований и высоту.

1. Определение параметров сечения

Введем систему координат. Пусть центр нижнего основания $O_1$ будет в начале координат $(0, 0, 0)$. Ось $z$ направим вдоль оси призмы. Тогда плоскость нижнего основания $z=0$, а верхнего $z=b$. Центр сферы $O$ будет иметь координаты $(0, 0, b/2)$.

Расположим вершины нижнего основания $ABC$ в плоскости $z=0$. Пусть вершина $C$ лежит на отрицательной части оси $y$. Центр $O_1$ является центром описанной окружности для треугольника $ABC$. Радиус этой окружности $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Расстояние от центра до середины стороны (апофема) $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Координаты вершин нижнего основания будут:

• $C = (0, -R, 0) = (0, -\frac{a}{\sqrt{3}}, 0)$
• Середина стороны $AB$, точка $M$, будет иметь координаты $M = (0, r, 0) = (0, \frac{a}{2\sqrt{3}}, 0)$
• $A = (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{3}}, 0)$
• $B = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{3}}, 0)$

Секущая плоскость проходит через точки $A$, $B$ и $O(0, 0, b/2)$. Составим уравнение этой плоскости. Векторы $\vec{AB} = (a, 0, 0)$ и $\vec{AO} = (\frac{a}{2}, -\frac{a}{2\sqrt{3}}, \frac{b}{2})$ лежат в этой плоскости. Нормальный вектор к плоскости $\vec{n}$ можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AO} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ a/2 & -a/(2\sqrt{3}) & b/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(\frac{ab}{2}) + \mathbf{k}(-\frac{a^2}{2\sqrt{3}}) = (0, -\frac{ab}{2}, -\frac{a^2}{2\sqrt{3}})$

Уравнение плоскости имеет вид $0 \cdot x - \frac{ab}{2} \cdot y - \frac{a^2}{2\sqrt{3}} \cdot z + D = 0$. Упростив, получим $b y + \frac{a}{\sqrt{3}} z + D' = 0$. Подставим координаты точки $O(0,0,b/2)$, чтобы найти $D'$:

$b \cdot 0 + \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{b}{2} + D' = 0 \Rightarrow D' = -\frac{ab}{2\sqrt{3}}$

Итак, уравнение секущей плоскости: $b y + \frac{a}{\sqrt{3}} z - \frac{ab}{2\sqrt{3}} = 0$.

Теперь найдем линию пересечения этой плоскости с плоскостью верхнего основания $z=b$. Подставим $z=b$ в уравнение плоскости:

$b y + \frac{a}{\sqrt{3}} b - \frac{ab}{2\sqrt{3}} = 0$

$b y = \frac{ab}{2\sqrt{3}} - \frac{ab}{\sqrt{3}} = -\frac{ab}{2\sqrt{3}}$

$y = -\frac{a}{2\sqrt{3}}$

Эта линия $y = -\frac{a}{2\sqrt{3}}$ в плоскости $z=b$ является вторым основанием трапеции. Найдем его длину. Эта линия пересекает стороны верхнего основания $A_1C_1$ и $B_1C_1$. Координаты вершин верхнего основания:

$A_1 = (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{3}}, b)$, $B_1 = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{3}}, b)$, $C_1 = (0, -\frac{a}{\sqrt{3}}, b)$

Уравнение прямой $A_1C_1$ в плоскости $z=b$:Наклон $k = \frac{y_{C1}-y_{A1}}{x_{C1}-x_{A1}} = \frac{-a/\sqrt{3} - a/(2\sqrt{3})}{0 - (-a/2)} = \frac{-3a/(2\sqrt{3})}{a/2} = -\sqrt{3}$. Уравнение: $y - y_{C1} = k(x-x_{C1}) \Rightarrow y - (-\frac{a}{\sqrt{3}}) = -\sqrt{3}(x-0) \Rightarrow y = -\sqrt{3}x - \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Найдем точку пересечения $A_2$ этой прямой с прямой $y = -\frac{a}{2\sqrt{3}}$:

$-\frac{a}{2\sqrt{3}} = -\sqrt{3}x - \frac{a}{\sqrt{3}}$

$\sqrt{3}x = -\frac{a}{\sqrt{3}} + \frac{a}{2\sqrt{3}} = -\frac{a}{2\sqrt{3}}$

$x = -\frac{a}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = -\frac{a}{6}$

Таким образом, одна из вершин верхнего основания трапеции $A_2 = (-\frac{a}{6}, -\frac{a}{2\sqrt{3}}, b)$. В силу симметрии, вторая вершина $B_2 = (\frac{a}{6}, -\frac{a}{2\sqrt{3}}, b)$.

Длина нижнего основания трапеции $d_1 = AB = a$. Длина верхнего основания трапеции $d_2 = A_2B_2 = \frac{a}{6} - (-\frac{a}{6}) = \frac{2a}{6} = \frac{a}{3}$.

Высота трапеции $h$ - это расстояние между прямыми $AB$ и $A_2B_2$. Найдем его как расстояние между серединами оснований: $M(0, \frac{a}{2\sqrt{3}}, 0)$ и $M_2(0, -\frac{a}{2\sqrt{3}}, b)$.

$h = |MM_2| = \sqrt{(0-0)^2 + (-\frac{a}{2\sqrt{3}} - \frac{a}{2\sqrt{3}})^2 + (b-0)^2} = \sqrt{(-\frac{a}{\sqrt{3}})^2 + b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3} + b^2}$.

2. Вычисление площади сечения

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{d_1 + d_2}{2} h$

$S = \frac{a + a/3}{2} \sqrt{\frac{a^2}{3} + b^2} = \frac{4a/3}{2} \sqrt{\frac{a^2 + 3b^2}{3}} = \frac{2a}{3} \frac{\sqrt{a^2 + 3b^2}}{\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$ для рационализации:

$S = \frac{2a\sqrt{3}}{9}\sqrt{a^2 + 3b^2}$

Ответ: $S = \frac{2a\sqrt{3}}{9}\sqrt{a^2 + 3b^2}$

14.35. Дан тетраэдр $DABC$. В грани $ADB$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$, в грани $BDC$ — высоты $BB_2$ и $CC_1$ и в грани $CDA$ — высоты $CC_2$ и $AA_2$. Докажите, что прямые $A_1B_1$, $C_1B_2$ и $A_2C_2$ параллельны одной плоскости.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Поместим начало координат в вершину D тетраэдра и введем векторы: $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DB} = \vec{b}$, $\vec{DC} = \vec{c}$.

Точки $A_1, B_1, B_2, C_1, C_2, A_2$ являются основаниями высот, проведенных в гранях тетраэдра. Их радиус-векторы можно найти как проекции соответствующих векторов вершин на векторы ребер.

В грани $ADB$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. $A_1$ — основание высоты из A на DB, $B_1$ — основание высоты из B на DA. Радиус-векторы этих точек:
$\vec{DA_1} = \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}$
$\vec{DB_1} = \text{proj}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}$

Аналогично для других граней:
В грани $BDC$ ($BB_2 \perp DC$, $CC_1 \perp DB$):
$\vec{DB_2} = \text{proj}_{\vec{c}}\vec{b} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|^2}\vec{c}$
$\vec{DC_1} = \text{proj}_{\vec{b}}\vec{c} = \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}$
В грани $CDA$ ($CC_2 \perp DA$, $AA_2 \perp DC$):
$\vec{DC_2} = \text{proj}_{\vec{a}}\vec{c} = \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}$
$\vec{DA_2} = \text{proj}_{\vec{c}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|^2}\vec{c}$

Теперь найдем направляющие векторы для прямых $A_1B_1$, $C_1B_2$ и $A_2C_2$:
$\vec{A_1B_1} = \vec{DB_1} - \vec{DA_1} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \left( \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|^2} - \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right)$
$\vec{C_1B_2} = \vec{DB_2} - \vec{DC_1} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|^2}\vec{c} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}|^2}\vec{b} = (\vec{b} \cdot \vec{c}) \left( \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|^2} - \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right)$
$\vec{A_2C_2} = \vec{DC_2} - \vec{DA_2} = \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{c}|^2}\vec{c} = (\vec{c} \cdot \vec{a}) \left( \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|^2} - \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|^2} \right)$

Чтобы доказать, что прямые $A_1B_1$, $C_1B_2$ и $A_2C_2$ параллельны одной плоскости, необходимо и достаточно доказать, что их направляющие векторы $\vec{A_1B_1}$, $\vec{C_1B_2}$ и $\vec{A_2C_2}$ компланарны.

Рассмотрим преобразование инверсии с центром в точке D и единичным радиусом. Пусть точки $A'$, $B'$, $C'$ являются образами точек $A, B, C$ при этой инверсии. Их радиус-векторы определяются как:
$\vec{DA'} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|^2}$, $\vec{DB'} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|^2}$, $\vec{DC'} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|^2}$

Перепишем направляющие векторы прямых, используя векторы $\vec{DA'}$, $\vec{DB'}$ и $\vec{DC'}$:
$\vec{A_1B_1} = (\vec{a} \cdot \vec{b}) (\vec{DA'} - \vec{DB'}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{B'A'}$
$\vec{C_1B_2} = (\vec{b} \cdot \vec{c}) (\vec{DC'} - \vec{DB'}) = (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{B'C'}$
$\vec{A_2C_2} = (\vec{c} \cdot \vec{a}) (\vec{DA'} - \vec{DC'}) = (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{C'A'}$

Из полученных выражений видно, что вектор $\vec{A_1B_1}$ коллинеарен вектору $\vec{B'A'}$, вектор $\vec{C_1B_2}$ коллинеарен вектору $\vec{B'C'}$, а вектор $\vec{A_2C_2}$ коллинеарен вектору $\vec{C'A'}$.

Векторы $\vec{B'A'}$, $\vec{B'C'}$ и $\vec{C'A'}$ являются векторами сторон треугольника $A'B'C'$. Сумма этих векторов равна нулевому вектору: $\vec{B'A'} + \vec{A'C'} + \vec{C'B'} = \vec{0}$, что эквивалентно $\vec{B'A'} - \vec{C'A'} - \vec{B'C'} = \vec{0}$. Это означает, что эти векторы лежат в одной плоскости (плоскости треугольника $A'B'C'$), то есть они компланарны.

Поскольку направляющие векторы прямых $A_1B_1$, $C_1B_2$ и $A_2C_2$ являются скалярными произведениями векторов $\vec{B'A'}$, $\vec{B'C'}$ и $\vec{C'A'}$, они также компланарны. Следовательно, прямые $A_1B_1$, $C_1B_2$ и $A_2C_2$ параллельны одной и той же плоскости, а именно плоскости, проходящей через точки $A'$, $B'$, $C'$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

14.36. Дан равногранный тетраэдр, в котором рёбра равны $a$, $b$ и $c$. Найдите радиус сферы, описанной около этого тетраэдра.

Равногранный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все четыре грани являются равными (конгруэнтными) треугольниками. Важным свойством такого тетраэдра является то, что его противолежащие рёбра попарно равны. В условии задачи дано, что рёбра равны $a$, $b$ и $c$. В контексте равногранного тетраэдра это означает, что длины трёх пар противолежащих рёбер равны $a$, $b$ и $c$.

Любой равногранный тетраэдр можно вписать в прямоугольный параллелепипед. Вершины тетраэдра совпадут с четырьмя вершинами параллелепипеда, никакие две из которых не лежат на одном ребре. Рёбра тетраэдра при этом будут являться диагоналями граней параллелепипеда.

Пусть измерения этого прямоугольного параллелепипеда равны $x$, $y$ и $z$. Тогда квадраты длин диагоналей его граней равны $x^2+y^2$, $x^2+z^2$ и $y^2+z^2$. Каждая из этих длин соответствует паре противолежащих рёбер тетраэдра. Таким образом, мы можем составить систему уравнений:

$x^2 + y^2 = a^2$

$x^2 + z^2 = b^2$

$y^2 + z^2 = c^2$

Сфера, описанная около тетраэдра, совпадает со сферой, описанной около этого параллелепипеда. Радиус $R$ описанной сферы равен половине длины пространственной диагонали $d$ параллелепипеда. Длина диагонали вычисляется по формуле $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, следовательно, $R = \frac{d}{2}$, или в квадрате $R^2 = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{4}$.

Чтобы найти $R$, сначала найдём сумму $x^2 + y^2 + z^2$. Для этого сложим три уравнения системы:

$(x^2 + y^2) + (x^2 + z^2) + (y^2 + z^2) = a^2 + b^2 + c^2$

$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 = a^2 + b^2 + c^2$

$2(x^2 + y^2 + z^2) = a^2 + b^2 + c^2$

Отсюда получаем:

$x^2 + y^2 + z^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}$

Теперь подставим найденное выражение для $x^2 + y^2 + z^2$ в формулу для квадрата радиуса:

$R^2 = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{4} = \frac{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}}{4} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{8}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем искомый радиус сферы:

$R = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{8}}$

Ответ: $R = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{8}}$