Номер 14.30, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.30. Основанием тетраэдра $DABC$ является треугольник $ABC$, в котором $AC = 5$ см, $BC = 7$ см, $AB = 4\sqrt{2}$ см. Грани $ADC$ и $ADB$ перпендикулярны плоскости основания, а грань $BDC$ образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$. Найдите радиус сферы, описанной около тетраэдра.

Поскольку грани $ADC$ и $ADB$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$, то их линия пересечения, ребро $AD$, также перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, $AD$ — высота тетраэдра, а треугольники $ \triangle ADB $ и $ \triangle ADC $ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $A$.

Угол между гранью $BDC$ и плоскостью основания $ABC$ — это двугранный угол при ребре $BC$. Его линейной мерой является угол $ \angle DHA $, где $H$ — основание высоты $AH$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$ в треугольнике $ABC$. Так как $ AD \perp (ABC) $, то по теореме о трех перпендикулярах $ DH \perp BC $. Таким образом, $ \angle DHA $ — искомый угол.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ADH $ (угол $ \angle DAH = 90^\circ $). По условию, угол между гранью $BDC$ и плоскостью основания равен $ 45^\circ $, то есть $ \angle DHA = 45^\circ $. Тогда из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$ \tan(\angle DHA) = \frac{AD}{AH} $$ \tan(45^\circ) = 1 = \frac{AD}{AH} \implies AD = AH $Для нахождения высоты тетраэдра $AD$ необходимо найти длину высоты $AH$ в треугольнике основания $ABC$.

Найдем высоту $AH$ в треугольнике $ABC$ со сторонами $ AC = 5 $ см, $ BC = 7 $ см, $ AB = 4\sqrt{2} $ см. Для этого сначала вычислим площадь треугольника $ABC$. Воспользуемся теоремой косинусов, чтобы найти косинус угла $C$:$ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C $$ (4\sqrt{2})^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos C $$ 32 = 25 + 49 - 70 \cos C $$ 32 = 74 - 70 \cos C $$ 70 \cos C = 42 $$ \cos C = \frac{42}{70} = \frac{3}{5} $

Используя основное тригонометрическое тождество, найдем синус угла $C$:$ \sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $Теперь найдем площадь треугольника $ABC$:$ S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{4}{5} = 14 $ см². Площадь также можно выразить через высоту $AH$ и основание $BC$:$ S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AH $$ 14 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot AH $$ AH = \frac{14 \cdot 2}{7} = 4 $ см. Следовательно, высота тетраэдра $ AD = AH = 4 $ см.

Теперь найдем радиус $R$ описанной около тетраэдра сферы. Центр описанной сферы $O$ равноудален от всех четырех вершин. Пусть $O_{ABC}$ — центр окружности, описанной около основания $ABC$, а $R_{ABC}$ — ее радиус. Центр сферы $O$ лежит на прямой, перпендикулярной плоскости $ABC$ и проходящей через точку $O_{ABC}$. Расстояние от центра сферы $O$ до плоскости основания $ABC$ равно $z_O$. Тогда квадрат радиуса сферы можно выразить как $ R^2 = R_{ABC}^2 + z_O^2 $. Проекцией вершины $D$ на плоскость основания является вершина $A$. Расстояние от $O$ до $D$ также равно $R$. Квадрат этого расстояния равен $ R^2 = (AO_{ABC})^2 + (AD-z_O)^2 $. Поскольку $AO_{ABC}=R_{ABC}$, то $ R^2 = R_{ABC}^2 + (AD-z_O)^2 $. Приравнивая два выражения для $R^2$, получаем:$ R_{ABC}^2 + z_O^2 = R_{ABC}^2 + (AD - z_O)^2 $$ z_O^2 = (AD - z_O)^2 $Так как $z_O$ и $AD$ — длины, то $ z_O = AD - z_O $, откуда $ 2z_O = AD $, и $ z_O = \frac{AD}{2} = \frac{4}{2} = 2 $ см.

Найдем радиус $R_{ABC}$ окружности, описанной около треугольника $ABC$:$ R_{ABC} = \frac{AC \cdot BC \cdot AB}{4 S_{ABC}} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 4\sqrt{2}}{4 \cdot 14} = \frac{140\sqrt{2}}{56} = \frac{5\sqrt{2}}{2} $ см.

Теперь можем найти радиус $R$ описанной сферы:$ R^2 = R_{ABC}^2 + z_O^2 = (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 + 2^2 = \frac{25 \cdot 2}{4} + 4 = \frac{50}{4} + 4 = 12.5 + 4 = 16.5 $$ R = \sqrt{16.5} = \sqrt{\frac{33}{2}} = \frac{\sqrt{66}}{2} $ см.

Ответ: $ \frac{\sqrt{66}}{2} $ см.