Номер 14.28, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.28. Найдите радиус шара, описанного около усечённой пирамиды $ABC A_1 B_1 C_1$, если $\angle ABC = 90^\circ$, $AB = 8$ см, $BC = 16\sqrt{2}$ см, $B_1C_1 = 12\sqrt{2}$ см, а высота пирамиды равна 3 см.

Для того чтобы найти радиус шара, описанного около усеченной пирамиды, воспользуемся тем фактом, что все вершины пирамиды лежат на поверхности этого шара. Это означает, что основания усеченной пирамиды вписаны в окружности, которые являются сечениями шара плоскостями оснований. Центр шара будет равноудален от всех вершин пирамиды.

Центр шара лежит на прямой, перпендикулярной плоскостям оснований и проходящей через центры окружностей, описанных около оснований.

1. Нахождение радиусов окружностей, описанных около оснований

Нижнее основание – треугольник $ABC$. По условию, $\angle ABC = 90^\circ$, значит, треугольник $ABC$ – прямоугольный. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Найдем гипотенузу $AC$ по теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + (16\sqrt{2})^2 = 64 + 256 \cdot 2 = 64 + 512 = 576$ см$^2$.

$AC = \sqrt{576} = 24$ см.

Радиус окружности, описанной около нижнего основания, равен половине гипотенузы:

$r_1 = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Верхнее основание – треугольник $A_1B_1C_1$. Он подобен треугольнику $ABC$, следовательно, он также является прямоугольным с $\angle A_1B_1C_1 = 90^\circ$. Коэффициент подобия $k$ можно найти из отношения соответствующих сторон:

$k = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{12\sqrt{2}}{16\sqrt{2}} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.

Гипотенуза верхнего основания $A_1C_1$ равна:

$A_1C_1 = k \cdot AC = \frac{3}{4} \cdot 24 = 18$ см.

Радиус окружности, описанной около верхнего основания:

$r_2 = \frac{A_1C_1}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

2. Нахождение радиуса описанного шара

Пусть $R$ – радиус шара, $O$ – его центр. $O_1$ и $O_2$ – центры окружностей, описанных около нижнего и верхнего оснований соответственно. Расстояние между плоскостями оснований равно высоте усеченной пирамиды $h = 3$ см.

Рассмотрим сечение, проходящее через ось пирамиды (прямую $O_1O_2$). Пусть центр шара $O$ находится на расстоянии $x$ от плоскости нижнего основания (плоскости, содержащей $O_1$). Тогда расстояние от центра шара до плоскости верхнего основания будет $|h-x|$.

Радиус шара $R$ можно выразить через радиусы оснований и расстояние $x$, используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников, образованных радиусом шара, радиусом окружности основания и отрезком оси:

$R^2 = r_1^2 + x^2$

$R^2 = r_2^2 + (h-x)^2$

Приравняем правые части уравнений и подставим известные значения $r_1=12$, $r_2=9$ и $h=3$:

$12^2 + x^2 = 9^2 + (3-x)^2$

$144 + x^2 = 81 + 9 - 6x + x^2$

$144 = 90 - 6x$

$6x = 90 - 144$

$6x = -54$

$x = -9$ см.

Отрицательное значение $x$ означает, что центр шара $O$ находится вне усеченной пирамиды, со стороны большего основания, на расстоянии 9 см от него.

Теперь найдем радиус шара $R$, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$R^2 = 12^2 + (-9)^2 = 144 + 81 = 225$

$R = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.