Номер 14.31, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.31. Основанием пирамиды является квадрат, сторона которого равна $2a$. Высота пирамиды проходит через середину одного из рёбер основания и равна $a\sqrt{3}$. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Пусть основание пирамиды, квадрат $ABCD$, лежит в плоскости $xy$. Сторона квадрата равна $2a$. Разместим вершины основания следующим образом:

• $A(2a, 0, 0)$
• $B(2a, 2a, 0)$
• $C(0, 2a, 0)$
• $D(0, 0, 0)$

Согласно условию, высота пирамиды проходит через середину одного из рёбер основания. Выберем ребро $AD$. Середина ребра $AD$, точка $H$, имеет координаты:

$H = \left(\frac{2a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, 0\right) = (a, 0, 0)$

Высота пирамиды $h = a\sqrt{3}$. Вершина пирамиды $S$ находится над точкой $H$ на высоте $h$. Таким образом, координаты вершины $S$ равны:

$S(a, 0, a\sqrt{3})$

Центр описанной сферы $O(x, y, z)$ равноудалён от всех вершин пирамиды. Расстояние от центра сферы до любой из вершин равно радиусу сферы $R$. Следовательно, выполняется равенство:

$OA^2 = OB^2 = OC^2 = OD^2 = OS^2 = R^2$

Запишем уравнения, используя координаты вершин:

1. $OD^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = x^2 + y^2 + z^2$

2. $OA^2 = (x-2a)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = (x-2a)^2 + y^2 + z^2$

3. $OC^2 = (x-0)^2 + (y-2a)^2 + (z-0)^2 = x^2 + (y-2a)^2 + z^2$

Приравняем $OD^2$ и $OA^2$:

$x^2 + y^2 + z^2 = (x-2a)^2 + y^2 + z^2$

$x^2 = x^2 - 4ax + 4a^2$

$4ax = 4a^2 \implies x = a$

Приравняем $OD^2$ и $OC^2$:

$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y-2a)^2 + z^2$

$y^2 = y^2 - 4ay + 4a^2$

$4ay = 4a^2 \implies y = a$

Таким образом, центр сферы имеет координаты $O(a, a, z)$. Теперь найдем координату $z$, приравняв расстояние до вершины основания (например, $D$) и до вершины пирамиды $S$.

$OD^2 = a^2 + a^2 + z^2 = 2a^2 + z^2$

$OS^2 = (x-a)^2 + (y-0)^2 + (z-a\sqrt{3})^2 = (a-a)^2 + (a-0)^2 + (z-a\sqrt{3})^2 = a^2 + (z-a\sqrt{3})^2$

Приравняем $OD^2$ и $OS^2$:

$2a^2 + z^2 = a^2 + (z-a\sqrt{3})^2$

$2a^2 + z^2 = a^2 + z^2 - 2az\sqrt{3} + (a\sqrt{3})^2$

$2a^2 + z^2 = a^2 + z^2 - 2az\sqrt{3} + 3a^2$

$2a^2 = 4a^2 - 2az\sqrt{3}$

$2az\sqrt{3} = 2a^2$

$z = \frac{2a^2}{2a\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Итак, центр сферы находится в точке $O\left(a, a, \frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$.

Теперь найдем квадрат радиуса сферы $R^2$, используя, например, расстояние $OD$:

$R^2 = OD^2 = x^2 + y^2 + z^2 = a^2 + a^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2$

$R^2 = 2a^2 + \frac{3a^2}{9} = 2a^2 + \frac{a^2}{3} = \frac{6a^2 + a^2}{3} = \frac{7a^2}{3}$

Отсюда находим радиус $R$:

$R = \sqrt{\frac{7a^2}{3}} = a\sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{21}}{3}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{21}}{3}$.