Номер 14.27, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.27. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 2 см и 14 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная усечённая пирамида. Стороны её оснований равны $a_1 = 14$ см и $a_2 = 2$ см. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha = 45^\circ$.

Центр шара, описанного около правильной усечённой пирамиды, лежит на её оси (линии, соединяющей центры оснований). Для нахождения радиуса этого шара рассмотрим диагональное сечение пирамиды.

Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, вершины которой также являются вершинами пирамиды и, следовательно, лежат на описанной сфере. Таким образом, радиус шара, описанного около пирамиды, совпадает с радиусом окружности, описанной около этой трапеции.

Основаниями трапеции служат диагонали квадратных оснований пирамиды. Найдём их длины:
Диагональ нижнего основания: $d_1 = a_1 \sqrt{2} = 14\sqrt{2}$ см.
Диагональ верхнего основания: $d_2 = a_2 \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Радиусы окружностей, описанных около оснований пирамиды, равны половинам их диагоналей:
$r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}$ см.
$r_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

Высоту пирамиды $H$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой $H$ и проекцией бокового ребра на плоскость нижнего основания. Длина этой проекции равна разности радиусов описанных окружностей оснований: $r_1 - r_2$.
$r_1 - r_2 = 7\sqrt{2} - \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

По условию, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $45^\circ$. В рассматриваемом прямоугольном треугольнике это угол между гипотенузой (боковым ребром) и одним из катетов (его проекцией). Второй катет — это высота $H$. Следовательно:
$\tan(45^\circ) = \frac{H}{r_1 - r_2}$
Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:
$H = r_1 - r_2 = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь найдём радиус $R$ окружности, описанной около нашей равнобокой трапеции. Для этого введём систему координат. Пусть ось пирамиды совпадает с осью $Oy$, а центр нижнего основания — с началом координат $(0,0)$.
Тогда координаты вершин трапеции в этой системе:
Вершины нижнего основания: $(-r_1, 0)$ и $(r_1, 0)$, то есть $(-7\sqrt{2}, 0)$ и $(7\sqrt{2}, 0)$.
Вершины верхнего основания: $(-r_2, H)$ и $(r_2, H)$, то есть $(-\sqrt{2}, 6\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}, 6\sqrt{2})$.

Центр описанной окружности лежит на оси симметрии трапеции (оси $Oy$), и его координаты можно обозначить как $(0, y_0)$. Квадрат радиуса $R$ равен квадрату расстояния от центра $(0, y_0)$ до любой из вершин.
Расстояние до вершины нижнего основания: $R^2 = (r_1 - 0)^2 + (0 - y_0)^2 = r_1^2 + y_0^2$.
Расстояние до вершины верхнего основания: $R^2 = (r_2 - 0)^2 + (H - y_0)^2 = r_2^2 + (H - y_0)^2$.

Приравняем правые части уравнений:
$r_1^2 + y_0^2 = r_2^2 + H^2 - 2Hy_0 + y_0^2$
$r_1^2 = r_2^2 + H^2 - 2Hy_0$
$2Hy_0 = r_2^2 - r_1^2 + H^2$
$y_0 = \frac{r_2^2 - r_1^2 + H^2}{2H}$

Подставим численные значения:
$r_1^2 = (7\sqrt{2})^2 = 98$
$r_2^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
$H^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72$
$y_0 = \frac{2 - 98 + 72}{2 \cdot 6\sqrt{2}} = \frac{-24}{12\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$ см.

Наконец, найдём радиус $R$, подставив значение $y_0$ в первое уравнение для $R^2$:
$R^2 = r_1^2 + y_0^2 = 98 + (-\sqrt{2})^2 = 98 + 2 = 100$
$R = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.