Номер 14.23, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.23. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см, а одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания. Найдите высоту пирамиды, если радиус описанного около неё шара равен 4 см.

Пусть дана пирамида $SABCD$, в основании которой лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $a = 4$ см и $b = 6$ см. Одно из боковых ребер, пусть это будет $SA$, перпендикулярно плоскости основания. Это означает, что $SA$ является высотой пирамиды. Обозначим эту высоту через $h$.

Пирамиду с прямоугольным основанием и высотой, совпадающей с боковым ребром, исходящим из одной из вершин основания, можно вписать в прямоугольный параллелепипед. Измерения этого параллелепипеда будут равны сторонам прямоугольника в основании и высоте пирамиды, то есть $a=4$ см, $b=6$ см и $h$.

Сфера, описанная около такой пирамиды, совпадает со сферой, описанной около этого прямоугольного параллелепипеда. Все вершины пирамиды ($S, A, B, C, D$) являются вершинами параллелепипеда.

Диаметр $d$ сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, равен его пространственной диагонали. Квадрат пространственной диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:

$d^2 = a^2 + b^2 + h^2$

Радиус описанной сферы $R$ связан с диаметром соотношением $d = 2R$. Подставив это в формулу, получаем:

$(2R)^2 = a^2 + b^2 + h^2$

Из условия задачи нам известны стороны основания $a=4$ см, $b=6$ см и радиус описанной сферы $R=4$ см. Подставим эти значения в уравнение и найдем высоту $h$:

$(2 \cdot 4)^2 = 4^2 + 6^2 + h^2$

$8^2 = 16 + 36 + h^2$

$64 = 52 + h^2$

Отсюда выразим $h^2$:

$h^2 = 64 - 52$

$h^2 = 12$

Теперь найдем высоту $h$:

$h = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.