Номер 14.22, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.22. Радиус шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, равен 25 см, а расстояние от его центра до плоскости основания пирамиды равно 7 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. Обозначим ее высоту как $h$, боковое ребро как $l$. Пусть $R$ – радиус описанной около пирамиды сферы, а $d$ – расстояние от центра сферы до плоскости основания. По условию, $R = 25$ см, $d = 7$ см.

Центр описанной сферы $O$ для правильной пирамиды лежит на ее высоте. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через боковое ребро и высоту. Это сечение содержит высоту пирамиды $h$, боковое ребро $l$ и радиус $r$ окружности, описанной около основания. Эти три величины образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. Следовательно, они связаны соотношением: $l^2 = h^2 + r^2$

Рассмотрим другой прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (как гипотенузой), расстоянием $d$ от центра сферы до основания (как одним катетом) и радиусом $r$ описанной около основания окружности (как вторым катетом). По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$

Подставим известные значения, чтобы найти $r$: $25^2 = 7^2 + r^2$ $625 = 49 + r^2$ $r^2 = 625 - 49 = 576$ $r = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь необходимо найти высоту $h$. Вершина пирамиды и ее основание находятся на сфере. Центр сферы $O$ лежит на прямой, содержащей высоту $h$. Расстояние от $O$ до вершины равно $R$, и расстояние от $O$ до любой точки на окружности, описанной вокруг основания, также равно $R$. Это приводит к двум возможным вариантам расположения центра сферы относительно основания пирамиды.

1. Центр сферы $O$ находится между вершиной пирамиды и ее основанием. В этом случае высота пирамиды $h$ равна сумме радиуса сферы $R$ (отрезок от центра до вершины) и расстояния $d$ (отрезок от центра до основания): $h_1 = R + d = 25 + 7 = 32$ см.

2. Основание пирамиды находится между ее вершиной и центром сферы $O$. В этом случае радиус сферы $R$ (отрезок от центра до вершины) равен сумме высоты $h$ и расстояния $d$: $R = h + d$, откуда $h_2 = R - d = 25 - 7 = 18$ см.

Оба случая являются геометрически возможными. Для каждого случая найдем соответствующее боковое ребро $l$, используя ранее выведенную формулу $l^2 = h^2 + r^2$.

Для высоты $h_1 = 32$ см: $l_1^2 = 32^2 + 24^2 = 1024 + 576 = 1600$ $l_1 = \sqrt{1600} = 40$ см.

Для высоты $h_2 = 18$ см: $l_2^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$ $l_2 = \sqrt{900} = 30$ см.

Поскольку условие задачи не исключает ни один из двух возможных случаев, задача имеет два решения.

Ответ: 30 см или 40 см.