Номер 14.19, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.19. Основанием пирамиды является прямоугольник с углом $ \alpha $ между диагоналями, а каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $ \beta $. Радиус шара, описанного около данной пирамиды, равен $ R $. Найдите площадь основания пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольник $ABCD$, а $S$ — ее вершина. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. По условию, угол между диагоналями равен $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$.

Так как каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания один и тот же угол $\beta$, то вершина пирамиды $S$ проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника центром описанной окружности является точка пересечения его диагоналей $O$. Таким образом, $SO$ — высота пирамиды, а угол между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол $\angle SAO = \beta$.

Обозначим диагональ прямоугольника через $d$, то есть $AC = d$. Тогда радиус окружности, описанной около основания, равен $r = AO = \frac{d}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$. Из него мы можем выразить высоту пирамиды $h=SO$ и длину бокового ребра $l=SA$ через $d$ и $\beta$:
$h = SO = AO \cdot \tan(\angle SAO) = \frac{d}{2} \tan\beta$.
$l = SA = \frac{AO}{\cos(\angle SAO)} = \frac{d/2}{\cos\beta} = \frac{d}{2\cos\beta}$.

Центр сферы, описанной около пирамиды, лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через центр описанной около основания окружности. В данном случае центр сферы лежит на высоте $SO$. Радиус $R$ этой сферы равен радиусу окружности, описанной около треугольника, образованного диагональю основания и двумя боковыми ребрами, например, $\triangle ASC$.

Найдем радиус $R$ окружности, описанной около равнобедренного треугольника $ASC$ со сторонами $SA=SC=l$ и $AC=d$. Воспользуемся формулой $R = \frac{a^2c}{2h_c \cdot a}$, где в нашем случае $a=l, c=d$. Более общая формула $R = \frac{abc}{4S_{ABC}}$ также подходит. Площадь треугольника $ASC$ равна $S_{\triangle ASC} = \frac{1}{2} AC \cdot SO = \frac{1}{2} d \cdot h$.

$R = \frac{SA \cdot SC \cdot AC}{4 S_{\triangle ASC}} = \frac{l \cdot l \cdot d}{4 \cdot \frac{1}{2} d \cdot h} = \frac{l^2}{2h}$.

Подставим найденные выражения для $l$ и $h$:

$R = \frac{(\frac{d}{2\cos\beta})^2}{2 \cdot (\frac{d}{2} \tan\beta)} = \frac{\frac{d^2}{4\cos^2\beta}}{d \tan\beta} = \frac{d^2}{4\cos^2\beta} \cdot \frac{1}{d \frac{\sin\beta}{\cos\beta}} = \frac{d}{4\sin\beta\cos\beta}$.

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\beta\cos\beta = \sin(2\beta)$, получаем:

$R = \frac{d}{2\sin(2\beta)}$.

Из этого соотношения выразим диагональ основания $d$:

$d = 2R \sin(2\beta)$.

Площадь прямоугольника ($S_{осн}$) может быть найдена через его диагонали и угол между ними по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$. Так как у прямоугольника диагонали равны ($d_1=d_2=d$), формула принимает вид:

$S_{осн} = \frac{1}{2}d^2\sin\alpha$.

Подставим в эту формулу выражение для $d$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} (2R \sin(2\beta))^2 \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \sin^2(2\beta) \sin\alpha = 2R^2 \sin^2(2\beta) \sin\alpha$.

Ответ: $2R^2 \sin^2(2\beta) \sin\alpha$.