Номер 14.26, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.26. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны $5\sqrt{3}$ см и $12\sqrt{3}$ см, а её высота — 17 см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

Пусть $a_1$ и $a_2$ — стороны нижнего и верхнего оснований правильной треугольной усеченной пирамиды, а $H$ — ее высота. По условию задачи имеем:
Сторона нижнего основания $a_1 = 12\sqrt{3}$ см.
Сторона верхнего основания $a_2 = 5\sqrt{3}$ см.
Высота пирамиды $H = 17$ см.

Основаниями пирамиды являются правильные (равносторонние) треугольники. Радиус $r$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Найдем радиусы окружностей, описанных около оснований пирамиды:
Радиус описанной окружности нижнего основания:
$r_1 = \frac{a_1}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$ см.
Радиус описанной окружности верхнего основания:
$r_2 = \frac{a_2}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5$ см.

Центр шара, описанного около правильной усеченной пирамиды, лежит на ее высоте (оси), соединяющей центры оснований. Обозначим центры нижнего и верхнего оснований как $O_1$ и $O_2$ соответственно, а центр шара — как $O$. Искомый радиус шара обозначим как $R$.

Все вершины усеченной пирамиды лежат на поверхности шара и, следовательно, равноудалены от его центра $O$ на расстояние $R$. Пусть расстояние от центра шара $O$ до плоскости нижнего основания (до точки $O_1$) равно $x$. Тогда расстояние от $O$ до плоскости верхнего основания (до точки $O_2$) будет равно $H - x = 17 - x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом описанной окружности нижнего основания $r_1$ (катет) и отрезком $x$ (второй катет). По теореме Пифагора:
$R^2 = r_1^2 + x^2 = 12^2 + x^2 = 144 + x^2$.

Аналогично, для верхнего основания рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом описанной окружности $r_2$ (катет) и отрезком $17 - x$ (второй катет). По теореме Пифагора:
$R^2 = r_2^2 + (H - x)^2 = 5^2 + (17 - x)^2 = 25 + (17 - x)^2$.

Так как левые части обоих уравнений равны $R^2$, приравняем их правые части, чтобы найти $x$:
$144 + x^2 = 25 + (17 - x)^2$
$144 + x^2 = 25 + (289 - 34x + x^2)$
$144 + x^2 = 314 - 34x + x^2$
$144 = 314 - 34x$
$34x = 314 - 144$
$34x = 170$
$x = \frac{170}{34} = 5$ см.

Теперь, зная $x$, можем найти радиус шара $R$. Подставим значение $x=5$ в первое уравнение для $R^2$:
$R^2 = 144 + x^2 = 144 + 5^2 = 144 + 25 = 169$
$R = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.