Номер 14.12, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.12. В шар вписана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите радиус шара.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC, вписанная в шар. Основание ABC – правильный треугольник со стороной $a = 6$ см. Вершина S пирамиды проецируется в центр O основания ABC. Боковое ребро SA образует с плоскостью основания угол $\angle SAO = 30^\circ$.

1. Найдем радиус окружности, описанной около основания пирамиды.

Центр O правильного треугольника ABC является центром описанной около него окружности. Радиус этой окружности R_осн равен расстоянию от центра до вершины, например, OA. Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны основания $a = 6$ см:

$OA = R_{осн} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Найдем высоту и длину бокового ребра пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA (угол $\angle SOA = 90^\circ$). Катет OA является проекцией бокового ребра SA на плоскость основания. Следовательно, угол между боковым ребром и плоскостью основания – это угол $\angle SAO = 30^\circ$.

Высота пирамиды $H = SO$. Найдем ее из треугольника SOA:

$H = SO = OA \cdot \tan(\angle SAO) = 2\sqrt{3} \cdot \tan(30^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2$ см.

Длина бокового ребра $L = SA$:

$L = SA = \frac{OA}{\cos(\angle SAO)} = \frac{2\sqrt{3}}{\cos(30^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 4$ см.

3. Найдем радиус шара.

Центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на ее высоте (или на ее продолжении). Обозначим центр шара точкой O_ш, а его радиус – $R$.

Точка O_ш равноудалена от всех вершин пирамиды. В частности, расстояние от O_ш до вершины S равно расстоянию до вершины A:

$O_шS = O_шA = R$

Это означает, что точка O_ш лежит на серединном перпендикуляре к боковому ребру SA.

Рассмотрим сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через точки S, O, A. В этой плоскости лежит треугольник SOA, а центр шара O_ш лежит на прямой SO.

Найдем угол $\angle ASO$ в прямоугольном треугольнике SOA:

$\angle ASO = 90^\circ - \angle SAO = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Пусть M – середина бокового ребра SA. Тогда $SM = \frac{SA}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см. Серединный перпендикуляр к SA, проведенный из точки M, пересечет высоту SO в центре шара O_ш. При этом образуется прямоугольный треугольник SMO_ш ($\angle SMO_ш = 90^\circ$).

В треугольнике SMO_ш гипотенуза $O_шS$ является радиусом шара $R$. Катет SM равен 2 см, а угол $\angle MSO_ш$ (он же $\angle ASO$) равен $60^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\cos(\angle MSO_ш) = \frac{SM}{O_шS}$

$\cos(60^\circ) = \frac{2}{R}$

$\frac{1}{2} = \frac{2}{R}$

Отсюда находим радиус шара $R$:

$R = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Ответ: 4 см.