Номер 14.11, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.11. Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при ребре основания равен $\alpha$, а сторона основания равна $a$. Найдите радиус сферы, описанной около данной пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание со стороной $a$, а $S$ — вершина пирамиды. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата). Тогда $SO$ — высота пирамиды, обозначим ее $h$.

Двугранный угол при ребре основания, например, при ребре $CD$, равен $\alpha$. Для построения его линейного угла проведем апофему $SM$ боковой грани $SCD$, где $M$ — середина ребра $CD$. Так как пирамида правильная, $SM \perp CD$. В основании отрезок $OM$ соединяет центр квадрата с серединой стороны, поэтому $OM \perp CD$. Следовательно, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $CD$, то есть $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$). Катет $OM$ равен половине стороны основания: $OM = \frac{a}{2}$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$$ \tan(\alpha) = \frac{SO}{OM} = \frac{h}{a/2} $$Отсюда выразим высоту пирамиды $h$:$$ h = \frac{a}{2} \tan(\alpha) $$

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Радиус $R$ описанной сферы для правильной пирамиды можно найти по формуле $R = \frac{l^2}{2h}$, где $l$ — длина бокового ребра.

Найдем квадрат длины бокового ребра $l$. Рассмотрим боковое ребро $SC$ и прямоугольный треугольник $\triangle SOC$ (угол $\angle SOC = 90^\circ$). Катет $OC$ равен половине диагонали основания. Диагональ квадрата $AC = a\sqrt{2}$, поэтому $OC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. По теореме Пифагора:$$ l^2 = SC^2 = SO^2 + OC^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = h^2 + \frac{a^2}{2} $$Подставим в это выражение найденное ранее значение $h$:$$ l^2 = \left(\frac{a}{2} \tan(\alpha)\right)^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{a^2 \tan^2(\alpha)}{4} + \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2(\tan^2(\alpha) + 2)}{4} $$

Теперь подставим выражения для $l^2$ и $h$ в формулу для радиуса описанной сферы:$$ R = \frac{l^2}{2h} = \frac{\frac{a^2(\tan^2(\alpha) + 2)}{4}}{2 \cdot \frac{a}{2} \tan(\alpha)} = \frac{\frac{a^2(\tan^2(\alpha) + 2)}{4}}{a \tan(\alpha)} $$Упростив выражение, получим:$$ R = \frac{a(\tan^2(\alpha) + 2)}{4 \tan(\alpha)} $$

Ответ: $ \frac{a(\tan^2(\alpha) + 2)}{4 \tan(\alpha)} $