Номер 14.8, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.8. В шар вписана правильная четырёхугольная пирамида, сторона ос- нования которой равна 2 см, а высота – 4 см. Найдите радиус шара.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, вписанная в шар. $S$ — вершина пирамиды, а $ABCD$ — квадратное основание. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей). Тогда высота пирамиды $H = SO = 4$ см. По условию, сторона основания $a = 2$ см.

Центр шара $O_{ш}$ лежит на оси симметрии пирамиды, то есть на ее высоте $SO$. Все вершины пирамиды ($A, B, C, D, S$) лежат на поверхности шара, поэтому расстояние от центра шара до любой из них равно радиусу шара $R$. В частности, $O_{ш}A = R$ и $O_{ш}S = R$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды и шара, проходящее через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. В этом сечении мы увидим равнобедренный треугольник $SAC$, вписанный в большой круг шара радиуса $R$.

Сначала найдем расстояние от центра основания $O$ до вершины основания $A$. Это половина диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ квадрата $AC = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см. Тогда:

$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $O_{ш}OA$. Его гипотенуза — это радиус шара $O_{ш}A = R$. Один катет — это половина диагонали основания $AO = \sqrt{2}$ см. Второй катет — это расстояние между центром шара и центром основания пирамиды, $O_{ш}O$.

Точки $S$, $O_{ш}$ и $O$ лежат на одной прямой (высоте пирамиды). Длина высоты $SO = H = 4$ см. Расстояние от центра шара до вершины $S$ равно радиусу: $O_{ш}S = R$. Следовательно, расстояние от центра шара до центра основания равно $O_{ш}O = |SO - O_{ш}S| = |H - R| = |4 - R|$.

По теореме Пифагора для треугольника $O_{ш}OA$ составим уравнение:

$(O_{ш}A)^2 = (AO)^2 + (O_{ш}O)^2$

$R^2 = (\sqrt{2})^2 + (4 - R)^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $R$:

$R^2 = 2 + 16 - 8R + R^2$

$R^2 = 18 - 8R + R^2$

$0 = 18 - 8R$

$8R = 18$

$R = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2,25$ см.

Ответ: $2,25$ см.