Номер 14.4, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.4. В шар радиуса $R$ вписана правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна $a$. Найдите площадь боковой поверхности данной призмы.

Дано:
Шар с радиусом $R$.
В шар вписана правильная четырёхугольная призма.
Сторона основания призмы равна $a$.

Найти:
Площадь боковой поверхности призмы, $S_{бок}$.

Решение:

1. Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

2. Так как призма правильная четырёхугольная, её основанием является квадрат со стороной $a$. Периметр этого квадрата равен: $P_{осн} = 4a$.

3. Таким образом, для нахождения площади боковой поверхности нам необходимо найти высоту призмы $h$. Мы можем найти ее, используя тот факт, что призма вписана в шар. Это означает, что все вершины призмы лежат на поверхности шара.

4. Рассмотрим осевое сечение, проходящее через диагональ основания призмы. Это сечение представляет собой прямоугольник (боковая грань призмы, разрезанная по диагонали), вписанный в большой круг шара (круг с радиусом $R$). Диагональ этого прямоугольника является диагональю призмы и одновременно диаметром шара.

5. Пусть $D$ — диагональ призмы, $d$ — диагональ основания призмы, $h$ — высота призмы. Эти три величины образуют прямоугольный треугольник, где $D$ является гипотенузой. По теореме Пифагора: $D^2 = d^2 + h^2$.

6. Диагональ призмы $D$ равна диаметру шара, то есть $D = 2R$.

7. Диагональ основания $d$ является диагональю квадрата со стороной $a$. По теореме Пифагора для основания: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

8. Подставим выражения для $D^2$ и $d^2$ в формулу из пункта 5: $(2R)^2 = 2a^2 + h^2$
$4R^2 = 2a^2 + h^2$

9. Выразим из этого уравнения высоту $h$: $h^2 = 4R^2 - 2a^2$
$h = \sqrt{4R^2 - 2a^2}$

10. Теперь, когда у нас есть выражения для периметра основания и высоты, мы можем найти площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4a \cdot \sqrt{4R^2 - 2a^2}$

Ответ: $4a\sqrt{4R^2 - 2a^2}$.