Номер 13.57, страница 127 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.57. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, равна 32 см, а радиус вписанной окружности — 12 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Проведена высота к основанию $BH = h = 32$ см. Радиус вписанной окружности $r = 12$ см. Требуется найти радиус описанной окружности $R$.

Нахождение сторон треугольника

Центр вписанной окружности $I$ лежит на высоте $BH$ (которая также является биссектрисой угла $B$). Расстояние от инцентра до основания $AC$ равно радиусу, поэтому $IH = r = 12$ см. Расстояние от вершины $B$ до инцентра $I$ равно $BI = BH - IH = h - r = 32 - 12 = 20$ см.

Пусть вписанная окружность касается боковой стороны $BC$ в точке $K$. Так как радиус $IK$ перпендикулярен касательной $BC$, треугольник $BIK$ — прямоугольный. По теореме Пифагора найдем длину отрезка $BK$ (касательной из вершины $B$):
$BK = \sqrt{BI^2 - IK^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см.

Высота $BH$ в равнобедренном треугольнике является также медианой, значит, $H$ — середина $AC$. Точка $H$ также является точкой касания вписанной окружности с основанием. Длины касательных, проведенных из одной вершины к окружности, равны, поэтому $CK = CH$. Обозначим $CH = x$.

Тогда боковая сторона $BC = BK + KC = 16 + x$, а половина основания равна $x$.

Из прямоугольного треугольника $BHC$ по теореме Пифагора имеем: $BC^2 = BH^2 + HC^2$. Подставим полученные выражения:
$(16 + x)^2 = 32^2 + x^2$
$256 + 32x + x^2 = 1024 + x^2$
$32x = 1024 - 256$
$32x = 768$
$x = \frac{768}{32} = 24$ см.

Таким образом, половина основания $HC = 24$ см, основание $AC = 2 \cdot 24 = 48$ см, а боковая сторона $BC = 16 + 24 = 40$ см.

Нахождение радиуса описанной окружности

Теперь, зная все стороны треугольника (40 см, 40 см, 48 см), можем найти радиус описанной окружности $R$. Воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

Площадь треугольника $S$ равна:
$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 32 = 768$ см$^2$.

Подставляем значения в формулу для радиуса:
$R = \frac{40 \cdot 40 \cdot 48}{4 \cdot 768} = \frac{76800}{3072} = 25$ см.

Ответ: 25 см.