Номер 13.51, страница 127 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.51. Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в точках, являющихся вершинами треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$. Найдите радиусы сфер.

Пусть радиусы трех сфер равны $r_1$, $r_2$ и $r_3$. Центры сфер обозначим как $O_1, O_2, O_3$. Точки касания сфер с плоскостью обозначим как $A_1, A_2, A_3$. Согласно условию, эти точки являются вершинами треугольника со сторонами $a, b, c$. Примем, что сторона, соединяющая точки касания второй и третьей сфер, равна $a$ ($|A_2A_3| = a$), сторона между первой и третьей — $b$ ($|A_1A_3| = b$), и сторона между первой и второй — $c$ ($|A_1A_2| = c$).

Поскольку сферы касаются плоскости, расстояние от центра каждой сферы до плоскости равно ее радиусу. Это означает, что отрезки $O_1A_1$, $O_2A_2$ и $O_3A_3$ перпендикулярны плоскости, и их длины равны $r_1, r_2$ и $r_3$ соответственно.

Рассмотрим две любые сферы, например, первую и вторую. Так как они касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $|O_1O_2| = r_1 + r_2$. Проекция отрезка $O_1O_2$ на плоскость касания — это отрезок $A_1A_2$ длиной $c$. В плоскости, проходящей через точки $O_1$ и $O_2$ и перпендикулярной плоскости касания, можно рассмотреть прямоугольный треугольник. Его гипотенуза — это отрезок $O_1O_2$, один катет равен по длине отрезку $A_1A_2$, а второй катет равен разности высот центров над плоскостью, то есть $|r_1 - r_2|$.

По теореме Пифагора имеем: $|O_1O_2|^2 = |A_1A_2|^2 + (r_1 - r_2)^2$. Подставив известные значения, получаем $(r_1 + r_2)^2 = c^2 + (r_1 - r_2)^2$. Раскроем скобки: $r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 = c^2 + r_1^2 - 2r_1r_2 + r_2^2$. После упрощения это уравнение принимает вид $4r_1r_2 = c^2$.

Проводя аналогичные рассуждения для двух других пар сфер, получаем систему из трех уравнений: $4r_1r_2 = c^2$, $4r_1r_3 = b^2$ и $4r_2r_3 = a^2$.

Для решения этой системы перемножим все три уравнения: $(4r_1r_2)(4r_1r_3)(4r_2r_3) = a^2b^2c^2$, что дает $64(r_1r_2r_3)^2 = a^2b^2c^2$. Извлекая квадратный корень из обеих частей (все величины положительны), получаем $8r_1r_2r_3 = abc$.

Теперь мы можем найти каждый радиус. Чтобы найти $r_1$ (радиус сферы, касающейся плоскости в точке $A_1$), подставим выражение для $r_2r_3$ из уравнения $4r_2r_3 = a^2$ (т.е. $r_2r_3 = a^2/4$) в полученное произведение: $8r_1(\frac{a^2}{4}) = abc$. Отсюда $2ar_1 = abc$, и, следовательно, $r_1 = \frac{bc}{2a}$.

Аналогично, используя уравнение $4r_1r_3 = b^2$ (т.е. $r_1r_3 = b^2/4$), находим $r_2$: $8r_2(\frac{b^2}{4}) = abc$, что приводит к $2br_2 = abc$ и $r_2 = \frac{ac}{2b}$.

Используя уравнение $4r_1r_2 = c^2$ (т.е. $r_1r_2 = c^2/4$), находим $r_3$: $8r_3(\frac{c^2}{4}) = abc$, что приводит к $2cr_3 = abc$ и $r_3 = \frac{ab}{2c}$.

Таким образом, искомые радиусы трех сфер определяются сторонами треугольника, образованного точками касания.

Ответ: Радиусы сфер равны $\frac{bc}{2a}$, $\frac{ac}{2b}$ и $\frac{ab}{2c}$.