Номер 13.49, страница 127 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.49. Две касающиеся сферы помещены в куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ так, что одна из них касается трёх граней куба с общей вершиной $A$, а другая касается трёх граней с общей вершиной $C_1$. Найдите расстояние между центрами сфер, если ребро куба равно $a$.

Введем декартову систему координат. Пусть вершина куба $A$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Тогда, если ребро куба равно $a$, то координаты вершины $A$ будут $(0,0,0)$, а координаты вершины $C_1$ будут $(a,a,a)$.

Первая сфера касается трех граней куба с общей вершиной $A$. Эти грани являются координатными плоскостями: $Oxy$ ($z=0$), $Oxz$ ($y=0$) и $Oyz$ ($x=0$). Пусть центр этой сферы — точка $O_1$, а ее радиус — $R_1$. Поскольку сфера касается этих трех плоскостей, расстояние от ее центра до каждой из плоскостей равно радиусу. Таким образом, координаты центра $O_1$ равны $(R_1, R_1, R_1)$.

Вторая сфера касается трех граней куба с общей вершиной $C_1$. Эти грани задаются уравнениями $x=a$, $y=a$ и $z=a$. Пусть центр второй сферы — точка $O_2$, а ее радиус — $R_2$. Расстояние от центра $O_2(x_2, y_2, z_2)$ до плоскости $x=a$ равно $R_2$. Так как сфера находится внутри куба, координата $x_2$ должна быть меньше $a$. Следовательно, $a - x_2 = R_2$, откуда $x_2 = a - R_2$. Аналогично находим $y_2 = a - R_2$ и $z_2 = a - R_2$. Таким образом, координаты центра $O_2$ равны $(a-R_2, a-R_2, a-R_2)$.

По условию, две сферы касаются друг друга. Это означает, что расстояние между их центрами $O_1O_2$ равно сумме их радиусов:

$O_1O_2 = R_1 + R_2$

С другой стороны, расстояние между центрами $O_1(R_1, R_1, R_1)$ и $O_2(a-R_2, a-R_2, a-R_2)$ можно вычислить по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

$O_1O_2 = \sqrt{((a-R_2)-R_1)^2 + ((a-R_2)-R_1)^2 + ((a-R_2)-R_1)^2}$

$O_1O_2 = \sqrt{3(a-R_1-R_2)^2} = (a-(R_1+R_2))\sqrt{3}$

Теперь приравняем два полученных выражения для расстояния $O_1O_2$. Обозначим искомое расстояние $d = O_1O_2 = R_1 + R_2$.

$d = (a-d)\sqrt{3}$

Решим это уравнение относительно $d$:

$d = a\sqrt{3} - d\sqrt{3}$

$d + d\sqrt{3} = a\sqrt{3}$

$d(1+\sqrt{3}) = a\sqrt{3}$

$d = \frac{a\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}-1)$:

$d = \frac{a\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(1+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)} = \frac{a(3-\sqrt{3})}{3-1} = \frac{a(3-\sqrt{3})}{2}$

Ответ: $\frac{a(3-\sqrt{3})}{2}$