Номер 13.54, страница 127 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.54. Сфера радиуса 1 см касается всех рёбер правильного тетраэдра.

Найдите ребро тетраэдра.

Пусть $a$ — длина ребра правильного тетраэдра, а $r$ — радиус сферы, касающейся всех его ребер. По условию задачи, $r = 1$ см.

Вследствие симметрии правильного тетраэдра, центр сферы $O$ совпадает с геометрическим центром тетраэдра. Сфера касается каждого ребра в его середине.

Рассмотрим два скрещивающихся (противоположных) ребра тетраэдра, например, $AB$ и $CD$. Пусть $M$ — середина ребра $AB$, а $N$ — середина ребра $CD$. Центр тетраэдра $O$ является серединой отрезка $MN$, который соединяет середины этих скрещивающихся ребер. Длина отрезка $MN$ равна расстоянию между прямыми $AB$ и $CD$.

Радиус $r$ сферы, касающейся ребер, равен расстоянию от ее центра $O$ до любого ребра. Так как $M$ и $N$ — точки касания на ребрах $AB$ и $CD$, то расстояния от центра $O$ до этих ребер равны $OM$ и $ON$ соответственно. Поскольку $O$ — середина $MN$, то $OM = ON = \frac{MN}{2}$. Таким образом, $r = \frac{MN}{2}$.

Чтобы найти длину $MN$, рассмотрим треугольник $ACD$. $N$ — середина $CD$. $AN$ — медиана и высота равностороннего треугольника $ACD$. Ее длина вычисляется по формуле высоты равностороннего треугольника со стороной $a$: $AN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Аналогично, в треугольнике $BCD$ медиана $BN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $ANB$, в котором $AN = BN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ и основание $AB = a$. Отрезок $MN$ является медианой (и высотой), проведенной к основанию $AB$.

В прямоугольном треугольнике $AMN$ (с прямым углом $M$):

• гипотенуза $AN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
• катет $AM = \frac{a}{2}$

По теореме Пифагора найдем катет $MN$:$MN^2 = AN^2 - AM^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

Следовательно, $MN = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем радиус $r$:$r = \frac{MN}{2} = \frac{a\sqrt{2}/2}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{4}$

Подставим в эту формулу известное значение радиуса $r=1$ см:$1 = \frac{a\sqrt{2}}{4}$

Выразим отсюда длину ребра $a$:$a = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

Таким образом, ребро тетраэдра равно $2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.