Номер 13.47, страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.47. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB = BC = 1$ см, $AA_1 = 2$ см. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $A$ и $C_1$ и параллельна прямой $BD$. Найдите радиус сферы, касающейся плоскости $\alpha$ и трёх граней параллелепипеда с общей вершиной $C$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $C$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $CB$, ось $Oy$ вдоль ребра $CD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $CC_1$.

В этой системе координат, учитывая, что $AB = BC = 1$ см и $AA_1 = 2$ см, ключевые точки имеют следующие координаты: $C(0, 0, 0)$, $B(1, 0, 0)$, $D(0, 1, 0)$, $A(1, 1, 0)$ и $C_1(0, 0, 2)$.

Сначала найдем уравнение плоскости $\alpha$. Плоскость проходит через точки $A(1, 1, 0)$ и $C_1(0, 0, 2)$, поэтому вектор $\vec{AC_1} = (0-1, 0-1, 2-0) = (-1, -1, 2)$ лежит в этой плоскости. Также плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BD$, значит, она параллельна вектору $\vec{BD} = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $\alpha$ перпендикулярен векторам $\vec{AC_1}$ и $\vec{BD}$. Его можно найти как их векторное произведение $\vec{n} = \vec{AC_1} \times \vec{BD}$. Вычисляя векторное произведение, получаем $\vec{n} = (-2, -2, -2)$. В качестве нормального вектора можно взять коллинеарный ему вектор $(1, 1, 1)$. Тогда уравнение плоскости $\alpha$ имеет вид $x + y + z + D = 0$. Для нахождения константы $D$ подставим в уравнение координаты точки $A(1, 1, 0)$, через которую проходит плоскость: $1 + 1 + 0 + D = 0$, откуда $D = -2$. Таким образом, уравнение плоскости $\alpha$ есть $x + y + z - 2 = 0$.

Теперь рассмотрим сферу. Она касается трех граней параллелепипеда с общей вершиной $C$. В нашей системе координат это грани, лежащие в плоскостях $x=0$, $y=0$ и $z=0$. Если радиус сферы равен $R$, то ее центр, находящийся в углу, образованном этими плоскостями, имеет координаты $O(R, R, R)$.

Сфера также касается плоскости $\alpha$. Это означает, что расстояние от ее центра $O(R, R, R)$ до плоскости $\alpha$ равно ее радиусу $R$. Воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$. Подставим координаты точки $O(R, R, R)$ и параметры плоскости $x + y + z - 2 = 0$:

$R = \frac{|1 \cdot R + 1 \cdot R + 1 \cdot R - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|3R - 2|}{\sqrt{3}}$.

Решим полученное уравнение $\sqrt{3}R = |3R - 2|$. Оно эквивалентно двум случаям. Первый случай: $\sqrt{3}R = 3R - 2$, откуда $(3 - \sqrt{3})R = 2$, и $R_1 = \frac{2}{3 - \sqrt{3}} = \frac{2(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{2(3 + \sqrt{3})}{6} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$. Второй случай: $\sqrt{3}R = -(3R - 2)$, откуда $(3 + \sqrt{3})R = 2$, и $R_2 = \frac{2}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{2(3 - \sqrt{3})}{6} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$.

Центр сферы $O(R, R, R)$ должен находиться внутри параллелепипеда. Размеры параллелепипеда вдоль осей $Ox$ и $Oy$ равны 1. Следовательно, координата центра $R$ должна удовлетворять условию $0 < R \le 1$. Проверим найденные корни: $R_1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} > 1$, поэтому этот корень не подходит. Корень $R_2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ удовлетворяет условию, так как $0 < 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} < 1$.

Единственное подходящее решение — это $R = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ см.