Номер 13.48, страница 127 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.48. Через центр сферы радиуса $R$ проведены три попарно перпендикулярные плоскости. Найдите радиус сферы, касающейся всех этих плоскостей и данной сферы.

Пусть центр данной сферы радиуса $R$ находится в начале координат $O(0, 0, 0)$. Тогда три попарно перпендикулярные плоскости, проходящие через ее центр, можно рассматривать как координатные плоскости $z=0$, $y=0$ и $x=0$.

Пусть искомая сфера имеет радиус $r$ и центр $C(x_c, y_c, z_c)$. Условие касания сферы плоскости означает, что расстояние от центра сферы до этой плоскости равно ее радиусу. Так как искомая сфера касается трех координатных плоскостей, то расстояния от ее центра $C$ до этих плоскостей равны $r$. То есть $|x_c| = |y_c| = |z_c| = r$.

В силу симметрии задачи, мы можем рассмотреть положение центра искомой сферы в первом октанте, где ее координаты будут $(r, r, r)$.

Расстояние между центром данной сферы $O(0, 0, 0)$ и центром искомой сферы $C(r, r, r)$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками: $OC = \sqrt{(r-0)^2 + (r-0)^2 + (r-0)^2} = \sqrt{3r^2} = r\sqrt{3}$.

По условию, искомая сфера касается данной сферы. Это возможно в двух случаях: внешнее и внутреннее касание.

При внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов: $OC = R + r$. Тогда $r\sqrt{3} = R + r$, откуда $r(\sqrt{3} - 1) = R$. Решая относительно $r$, получаем первый возможный радиус: $r_1 = \frac{R}{\sqrt{3} - 1} = \frac{R(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{R(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{R(\sqrt{3} + 1)}{2}$.

При внутреннем касании расстояние между центрами равно разности радиусов (радиус большей сферы минус радиус меньшей): $OC = R - r$. Тогда $r\sqrt{3} = R - r$, откуда $r(\sqrt{3} + 1) = R$. Решая относительно $r$, получаем второй возможный радиус: $r_2 = \frac{R}{\sqrt{3} + 1} = \frac{R(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{R(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{R(\sqrt{3} - 1)}{2}$.

Следовательно, существуют два возможных радиуса для такой сферы.

Ответ: $\frac{R(\sqrt{3} - 1)}{2}$ или $\frac{R(\sqrt{3} + 1)}{2}$.