Номер 13.42, страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.42. Найдите ГМТ центров сфер, касающихся двух данных плоскостей.

Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть $C$ — центр сферы, а $R$ — её радиус. Условие касания сферы и плоскости заключается в том, что расстояние от центра сферы до плоскости равно её радиусу. Если сфера касается обеих плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то для её центра $C$ должны выполняться равенства $d(C, \alpha) = R$ и $d(C, \beta) = R$.

Из этого следует, что центр сферы $C$ должен быть равноудалён от обеих плоскостей:

$d(C, \alpha) = d(C, \beta)$

Таким образом, задача сводится к нахождению геометрического места точек (ГМТ), равноудалённых от двух данных плоскостей. Это ГМТ зависит от взаимного расположения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Рассмотрим два основных случая (предполагая, что плоскости не совпадают).

Случай, когда плоскости параллельны

Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$) и расстояние между ними равно $d$. Любая сфера, касающаяся обеих плоскостей, должна иметь диаметр, равный $d$, и, следовательно, радиус $R = d/2$. Центр $C$ такой сферы должен находиться на расстоянии $d/2$ от каждой из плоскостей. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух параллельных плоскостей, — это плоскость, которая параллельна им и проходит посередине между ними. Эта плоскость и является искомым ГМТ.

Ответ: Если данные плоскости параллельны, искомое ГМТ — это плоскость, параллельная данным плоскостям и расположенная на равном расстоянии от них.

Случай, когда плоскости пересекаются

Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $l$. Они образуют две пары вертикальных двугранных углов. Геометрическое место точек пространства, равноудалённых от двух пересекающихся плоскостей, представляет собой пару взаимно перпендикулярных плоскостей, которые делят пополам эти двугранные углы (их называют биссекторными плоскостями). Для любой точки $C$, принадлежащей одной из этих биссекторных плоскостей, расстояние до плоскости $\alpha$ равно расстоянию до плоскости $\beta$. Обозначив это расстояние как $r$, мы можем построить сферу с центром $C$ и радиусом $R=r$, которая будет касаться обеих исходных плоскостей. Следовательно, искомым ГМТ в этом случае является объединение этих двух биссекторных плоскостей.

Ответ: Если данные плоскости пересекаются, искомое ГМТ — это пара взаимно перпендикулярных биссекторных плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные данными плоскостями.