Номер 13.37, страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.37. Сечения шара, плоскости которых перпендикулярны, имеют общую хорду. Расстояние от центра шара до плоскости одного из данных сечений равно 4 см, а до плоскости другого — 5 см. Найдите длину общей хорды сечений, если радиус шара равен $5\sqrt{2}$ см.

Пусть $O$ — центр шара, а $R$ — его радиус. По условию, $R = 5\sqrt{2}$ см.

Обозначим плоскости сечений как $\alpha$ и $\beta$. Расстояние от центра шара $O$ до плоскости $\alpha$ равно $d_1 = 4$ см, а до плоскости $\beta$ — $d_2 = 5$ см. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны.

Пусть $AB$ — общая хорда сечений, а $K$ — её середина. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKA$, где $A$ — один из концов хорды. В этом треугольнике гипотенуза $OA$ равна радиусу шара $R$, катет $OK$ — это расстояние от центра шара до хорды $AB$, а катет $AK$ — половина длины искомой хорды ($AK = AB/2$).

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle OKA$ имеем:

$OA^2 = OK^2 + AK^2$

Отсюда можем выразить квадрат половины длины хорды:

$AK^2 = R^2 - OK^2$

Для нахождения длины хорды $AB$ нам необходимо сначала найти расстояние $OK$.

Расстояние $OK$ — это расстояние от центра шара $O$ до прямой, на которой лежит хорда $AB$ (линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$). Это расстояние можно найти, зная расстояния от точки $O$ до каждой из перпендикулярных плоскостей. Пусть $O_1$ и $O_2$ — проекции точки $O$ на плоскости $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Тогда $OO_1 = d_1 = 4$ см и $OO_2 = d_2 = 5$ см. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то отрезки $OO_1$ и $OO_2$ также перпендикулярны.

Расстояние $OK$ от точки $O$ до линии пересечения плоскостей является диагональю прямоугольника, сторонами которого являются $OO_1$ и $OO_2$. Таким образом, квадрат расстояния $OK$ можно найти по теореме Пифагора:

$OK^2 = d_1^2 + d_2^2$

Подставим известные значения:

$OK^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$ см$^2$.

Теперь мы можем найти $AK^2$. Радиус шара $R = 5\sqrt{2}$ см, следовательно, квадрат радиуса:

$R^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$ см$^2$.

Подставляем значения $R^2$ и $OK^2$ в формулу для $AK^2$:

$AK^2 = 50 - 41 = 9$ см$^2$.

Тогда половина длины хорды равна:

$AK = \sqrt{9} = 3$ см.

Длина всей хорды $AB$ вдвое больше:

$AB = 2 \cdot AK = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Ответ: 6 см.